Chủ đề này có 4 trả lời

[FillTheHoleInWall]

Cho $m,n\in N$ sao cho :
$\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}\in Z$
CMR $\left ( m,n \right )\leq \sqrt{m+n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi FillTheHoleInWall: 20-10-2012 - 09:51

[nguyenta98]

Cho $m,n\in N$ sao cho :
$\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}\in Z$
CMR $\left ( m,n \right )\leq \sqrt{m+n}$

Giải như sau:
Gọi $gcd(m,n)=d \Rightarrow m=dx,n=dy,gcd(x,y)=1$
Suy ra $\dfrac{(m+1)m+(n+1)n}{mn}$ nguyên
Hay $(dx+1)dx+(dy+1)dy \vdots d^2xy \Rightarrow (dx+1)x+(dy+1)y \vdots dxy$
$\Rightarrow dx^2+dy^2+x+y \vdots dxy \Rightarrow x+y \vdots d \Rightarrow x+y\geq d$
Suy ra $m+n=d(x+y)\geq d^2 \Rightarrow gcd(m,n)\le \sqrt{m+n}$ đây là điều phải cm

[FillTheHoleInWall]

Cảm ơn. Mình giải được rồi.
Nhưng tại sao có
$dx^{2}+dy^{2}+x+y \vdots dxy\Rightarrow x+y\vdots d$

[nguyenta98]

Cảm ơn. Mình giải được rồi.
Nhưng tại sao có
$dx^{2}+dy^{2}+x+y \vdots dxy\Rightarrow x+y\vdots d$

$dx^2+dy^2+x+y \vdots dxy \Rightarrow dx^2+dy^2+x+y \vdots d \Rightarrow x+y \vdots d$ (do $dx^2+dy^2 \vdots d$)

[FillTheHoleInWall]

Đây là bài giải của mình :
Đặt $\left ( m,n \right )=d $(d\geq 1)$ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} m\vdots d& & \\ n\vdots d& & \end{matrix}\right.\Rightarrow m+n\vdots d\Rightarrow \left ( m+n \right )^{2}\vdots d^{2}$ (1)
Ta có
A=$\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}=\frac{m^{2}+m+n^{2}+n}{mn}=\frac{(m+n)^{2}+(m+n)-2mn}{mn}$
Vì $A\in Z$
$\Rightarrow (m+n)^2+(m+n)-2mn \vdots mn \Rightarrow m+n\vdots mn (1)$
Vì $\left\{\begin{matrix} m\vdots d & & \\ n\vdots d& & \end{matrix}\right.\Rightarrow mn\vdots d^{2}$
$\Rightarrow m+n\vdots d^{2}\Rightarrow m+n\geq d^{2}\Leftrightarrow \sqrt{m+n}\geq d(dpcm)$