Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 20-10-2012 - 17:18
Chứng minh rằng $a^{4}+b^{4}\leq 2$.
Bắt đầu bởi L Lawliet, 20-10-2012 - 17:17
#1
Đã gửi 20-10-2012 - 17:17
L Lawliet
-
- Thành viên
-
- 1624 Bài viết
Tiểu Linh
Bài toán: Cho hai số thực dương $a$, $b$ thỏa mãn $a^{7}+b^{7}=a^{3}+b^{3}$. Chứng minh rằng $a^{4}+b^{4}\leq 2$.
- Zaraki, Karl Vierstein và Dramons Celliet thích
Thích ngủ.
#2
Đã gửi 20-10-2012 - 17:57
tramyvodoi
-
- Thành viên
-
- 1044 Bài viết
Thượng úy
giả sử a$\geq$b
=>$a^{4}\geq b^{4}$ và$a^{3}\geq b^{3}$
áp dụng BĐT chebyshev ta đc
$2(a^{7}+b^{7})\geq (a^{4}+b^{4})(a^{3}+b^{3})$
=>$2(a^{3}+b^{3})\geq (a^{4}+b^{4})(a^{3}+b^{3})$
=>$2\geq a^{4}+b^{4}$
=>$a^{4}\geq b^{4}$ và$a^{3}\geq b^{3}$
áp dụng BĐT chebyshev ta đc
$2(a^{7}+b^{7})\geq (a^{4}+b^{4})(a^{3}+b^{3})$
=>$2(a^{3}+b^{3})\geq (a^{4}+b^{4})(a^{3}+b^{3})$
=>$2\geq a^{4}+b^{4}$
- L Lawliet và Khanh 6c Hoang Liet thích
#3
Đã gửi 20-10-2012 - 19:01
sogenlun
-
- Thành viên
-
- 105 Bài viết
Trung sĩ
Bằng biến đổi tương đương ta chứng minh được :
$$2(a^7+b^7) \ge (a^3+b^3)(a^4+b^4)$$
Thật vậy , nó tương đương với :
$$ a^7+b^7 \ge a^4b^3+a^3b^4$$
$$\Leftrightarrow (a^4-b^4)(a^3-b^3) \ge 0$$
$$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+ab+b^2)(a^3+a^2b+ab^2+b^3) \ge 0 \text{Đúng với mọi a,b >0}$$
Đăng thức xảy ra khi $a=b$
$$2(a^7+b^7) \ge (a^3+b^3)(a^4+b^4)$$
Thật vậy , nó tương đương với :
$$ a^7+b^7 \ge a^4b^3+a^3b^4$$
$$\Leftrightarrow (a^4-b^4)(a^3-b^3) \ge 0$$
$$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+ab+b^2)(a^3+a^2b+ab^2+b^3) \ge 0 \text{Đúng với mọi a,b >0}$$
Đăng thức xảy ra khi $a=b$
- L Lawliet, no matter what, Mai Xuan Son và 1 người khác yêu thích
Chia sẻ tài liệu ôn thi đại học tại : http://blogtoanli.net
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
