Cmr : Nếu a>0, b>0, c>0 thì : $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
#1
Đã gửi 27-10-2012 - 18:34
402b, Cmr : Nếu a>0, b>0, c>0 thì :
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
Giải :
Vì vai trò của a, b, c là như nhau nên không làm mất tính tổng quát; có thể giả sử :
$a\geq b\geq c$ => $a+b\geq a+c\geq b+c$ => $\frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{c+a}\geq \frac{1}{a+b}$
=> $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}$
Và $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}$
Mình không hiểu đoạn này cho lắm :
$\frac{1}{b+c}\geq\frac{1}{c+a}\geq\frac{1}{a+b}$
=> $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}$
Và $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}$
Có ai biết, giải đáp giúp mình với.
#2
Đã gửi 27-10-2012 - 19:18
Bất đẳng thức ấy được định nhĩa như sau:
Cho hai dãy $$\begin{cases}a_1 \leq {a_2}\leq {a_3}\leq...\leq {a_n}\\b_1\leq {b_2}\leq {b_3}\leq...\leq {b_n}\end{cases}$$
Khi đó ta có $a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n\geq{a_1 x_1+a_2 x_2+...+a_2x_n}\geq{a_1 b_n+a_2 b_{n-1}+...+a_n b_1}$
trong đó $(x_1,x_2,...x_n)$ là một hoán vị của $(b_1,b_2,...,b_n)$
Bất đẳng thức trên sẽ đổi chiều nếu một trong hai dãy đổi chiều.
Từ đây sẽ suy ra rất nhiều bdt hay như AM-GM, Trebusep,...
Bất đẳng thức này rất hay!
Nhân đây mình muốn ai có tài liệu về bdt thức này thì cho mình xin, mình cám ơn nhiều
- thukilop, no matter what, chaugaihoangtuxubatu và 1 người khác yêu thích
Luận văn, tài liệu tham khảo toán học : http://diendantoanho...ảo/#entry499457
Sách, Luận Văn, Tài liệu tham khảo https://www.facebook...TailieuLuanvan/
#3
Đã gửi 27-10-2012 - 19:24
=>2a= z - x + y , 2b= x - y + z , 2c = y - x + z
thế tất cả theo x,y,z ta được
$\frac{1}{2}(\frac{z-x+y}{x}+\frac{y-z+x}{y}+\frac{x-y+z}{z})$ (1)
= $\frac{1}{2}(\frac{z}{x} - 1+\frac{y}{x}+1-\frac{z}{y}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}-\frac{y}{z}+1)$
= $\frac{1}{2}(\frac{z}{x}+\frac{x}{z} +\frac{y}{x}+\frac{x}{y}-\frac{z}{y}-\frac{y}{z})+\frac{1}{2}$ (2)
dùng cô si cho 2 số dương ta có
(2)$\geq \frac{1}{2}.\left ( 2+2-2 \right )+\frac{1}{2}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
=> bất pt ban đầu dc chứng minh
- chaugaihoangtuxubatu yêu thích
#4
Đã gửi 27-10-2012 - 19:25
ta có $\sum \frac{a}{b+c}=\sum \frac{a^{2}}{ab+ac}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}$ (theo cauchy schwarzs)
bài toán chỉ cần chứng minh$(a+b+c)^{2}\geq 3{(ab+bc+ca)}$
nhưng đây là một kết quả quen thuộc
=>đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 27-10-2012 - 19:28
- thukilop và chaugaihoangtuxubatu thích
#5
Đã gửi 27-10-2012 - 20:26
Dễ dàng chứng minh được bđt: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$
Áp dụng vào, ta có: 2$(2a+2b+2c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 9$
$\leftrightarrow \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{2}-3= \frac{3}{2}$ (đpcm)
- chaugaihoangtuxubatu yêu thích
Kir - Kẻ lang thang giàu nhất thế giới
#6
Đã gửi 27-10-2012 - 20:46
Mình vẫn chưa hiểu lắm, tại sao lại :Bạn sử dụng phương pháp này có thể sẽ dễ hiểu hơn đó:
Dễ dàng chứng minh được bđt: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$
Áp dụng vào, ta có: 2$(2a+2b+2c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 9$
$\leftrightarrow \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{2}-3= \frac{3}{2}$ (đpcm)
2$(2a+2b+2c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 9$
$\leftrightarrow \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{2}-3= \frac{3}{2}$ (đpcm)
#7
Đã gửi 27-10-2012 - 20:56
Mình vẫn chưa hiểu lắm, tại sao lại :
2$(2a+2b+2c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 9$
$\leftrightarrow \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{2}-3= \frac{3}{2}$ (đpcm)
Tức là: 2$(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})$=$\sum \frac{a}{b+c}+\sum \frac{b+c}{b+c}$$\geq \frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$
- thukilop và chaugaihoangtuxubatu thích
Kir - Kẻ lang thang giàu nhất thế giới
#8
Đã gửi 28-10-2012 - 21:45
- chaugaihoangtuxubatu yêu thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#9
Đã gửi 14-12-2012 - 23:27
Cho bạn tới 45 cách giải bài đó ở http://me.zing.vn/ap...TIrMjY2MTI4NQ==
Mình cho bạn $51$ cách chứng minh luôn
http://www.nhasachtr...t-dang-thuc.htm
Trang $408$ nhé
Nhớ Thanks
- chaugaihoangtuxubatu và T41 thích
$\cdot$ $( - 1) = {( - 1)^5} = {( - 1)^{2.\frac{5}{2}}} = {\left[ {{{( - 1)}^2}} \right]^{\frac{5}{2}}} = {1^{\frac{5}{2}}} =\sqrt{1}= 1$
$\cdot$ $\dfrac{0}{0}=\dfrac{100-100}{100-100}=\dfrac{10.10-10.10}{10.10-10.10}=\dfrac{10^2-10^2}{10(10-10)}=\dfrac{(10-10)(10+10)}{10(10-10)}=\dfrac{20}{10}=2$
$\cdot$ $\pi\approx 2^{5^{0,4}}-0,6-\left(\frac{0,3^{9}}{7}\right)^{0,8^{0,1}}$
$\cdot$ $ - 2 = \sqrt[3]{{ - 8}} = {( - 8)^{\frac{1}{3}}} = {( - 8)^{\frac{2}{6}}} = {\left[ {{{( - 8)}^2}} \right]^{\frac{1}{6}}} = {64^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{{64}} = 2$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh