8 replies to this topic

[chaugaihoangtuxubatu]

Trong quyển Đại số của tập "23 chuyên đề - 1001 bài toán sơ cấp", bài 402 phần Bất đẳng thức có đoạn như sau :
402b, Cmr : Nếu a>0, b>0, c>0 thì :
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
Giải :
Vì vai trò của a, b, c là như nhau nên không làm mất tính tổng quát; có thể giả sử :
$a\geq b\geq c$ => $a+b\geq a+c\geq b+c$ => $\frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{c+a}\geq \frac{1}{a+b}$
=> $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}$
Và $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}$
Mình không hiểu đoạn này cho lắm :
$\frac{1}{b+c}\geq\frac{1}{c+a}\geq\frac{1}{a+b}$
=> $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}$
Và $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}$
Có ai biết, giải đáp giúp mình với.

[zipienie]

Đó là do áp dụng bdt '' sắp xếp lại'' hay còn có tên tiếng anh là ''rearrangement inequality'' hoặc '' permutation inequality''
Bất đẳng thức ấy được định nhĩa như sau:
Cho hai dãy $$\begin{cases}a_1 \leq {a_2}\leq {a_3}\leq...\leq {a_n}\\b_1\leq {b_2}\leq {b_3}\leq...\leq {b_n}\end{cases}$$
Khi đó ta có $a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n\geq{a_1 x_1+a_2 x_2+...+a_2x_n}\geq{a_1 b_n+a_2 b_{n-1}+...+a_n b_1}$
trong đó $(x_1,x_2,...x_n)$ là một hoán vị của $(b_1,b_2,...,b_n)$
Bất đẳng thức trên sẽ đổi chiều nếu một trong hai dãy đổi chiều.
Từ đây sẽ suy ra rất nhiều bdt hay như AM-GM, Trebusep,...
Bất đẳng thức này rất hay!
Nhân đây mình muốn ai có tài liệu về bdt thức này thì cho mình xin, mình cám ơn nhiều

[mekjpdoj]

bài này làm cách khác được nè, dễ hiểu hơn, đặt x=b+c, y=c+a, z= a+b (x,y,z >0)
=>2a= z - x + y , 2b= x - y + z , 2c = y - x + z
thế tất cả theo x,y,z ta được
$\frac{1}{2}(\frac{z-x+y}{x}+\frac{y-z+x}{y}+\frac{x-y+z}{z})$ (1)
= $\frac{1}{2}(\frac{z}{x} - 1+\frac{y}{x}+1-\frac{z}{y}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}-\frac{y}{z}+1)$
= $\frac{1}{2}(\frac{z}{x}+\frac{x}{z} +\frac{y}{x}+\frac{x}{y}-\frac{z}{y}-\frac{y}{z})+\frac{1}{2}$ (2)
dùng cô si cho 2 số dương ta có
(2)$\geq \frac{1}{2}.\left ( 2+2-2 \right )+\frac{1}{2}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
=> bất pt ban đầu dc chứng minh

[tramyvodoi]

mình có cách này
ta có $\sum \frac{a}{b+c}=\sum \frac{a^{2}}{ab+ac}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}$ (theo cauchy schwarzs)
bài toán chỉ cần chứng minh$(a+b+c)^{2}\geq 3{(ab+bc+ca)}$
nhưng đây là một kết quả quen thuộc
=>đpcm

Edited by tramyvodoi, 27-10-2012 - 19:28.

[Kir]

Bạn sử dụng phương pháp này có thể sẽ dễ hiểu hơn đó:
Dễ dàng chứng minh được bđt: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$
Áp dụng vào, ta có: 2$(2a+2b+2c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 9$
$\leftrightarrow \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{2}-3= \frac{3}{2}$ (đpcm)

[chaugaihoangtuxubatu]

Bạn sử dụng phương pháp này có thể sẽ dễ hiểu hơn đó:
Dễ dàng chứng minh được bđt: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$
Áp dụng vào, ta có: 2$(2a+2b+2c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 9$
$\leftrightarrow \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{2}-3= \frac{3}{2}$ (đpcm)

Mình vẫn chưa hiểu lắm, tại sao lại :
2$(2a+2b+2c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 9$
$\leftrightarrow \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{2}-3= \frac{3}{2}$ (đpcm)

[Kir]

Mình vẫn chưa hiểu lắm, tại sao lại :
2$(2a+2b+2c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 9$
$\leftrightarrow \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{2}-3= \frac{3}{2}$ (đpcm)

Tức là: 2$(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})$=$\sum \frac{a}{b+c}+\sum \frac{b+c}{b+c}$$\geq \frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$

[Oral1020]

Cho bạn tới 45 cách giải bài đó ở http://me.zing.vn/ap...TIrMjY2MTI4NQ==

[Tienanh tx]

Cho bạn tới 45 cách giải bài đó ở http://me.zing.vn/ap...TIrMjY2MTI4NQ==

Mình cho bạn $51$ cách chứng minh luôn
http://www.nhasachtr...t-dang-thuc.htm
Trang $408$ nhé
Nhớ Thanks