Chủ đề này có 2 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán 1.
Ch0 $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác.Chứng minh bất đẳng thức:
$$\sqrt{\frac{a}{a+b-c}}+\sqrt{\frac{b}{b+c-a}}+\sqrt{\frac{c}{c+a-b}}\geq 3$$
Bài toán 2.
Chứng minh $\forall a,b,c>0$ và $abc=1$ ta luôn có:
$$18+2(a^2+b^2+c^2)\geq 3(1+a)(1+b)(1+c)$$

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Bài toán 1.
Ch0 $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác.Chứng minh bất đẳng thức:
$$\sqrt{\frac{a}{a+b-c}}+\sqrt{\frac{b}{b+c-a}}+\sqrt{\frac{c}{c+a-b}}\geq 3$$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có
$$(\sum \sqrt{\frac{a}{a+b-c}})^{2}\geq 3\sum \sqrt{\frac{ab}{(a+b-c)(b+c-a)}}\geq 3\sum \sqrt{\frac{ab}{b^{2}}}\geq 9$$
$$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a}{a+b-c}}\geq 3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 28-10-2012 - 15:52

[Joker9999]

Bài toán 2.
Chứng minh $\forall a,b,c>0$ và $abc=1$ ta luôn có:
$$18+2(a^2+b^2+c^2)\geq 3(1+a)(1+b)(1+c)$$

Khai triển và rút gọn BDT trên ta được điều tương đương:
$12+2\sum a^2\geq 3\sum a+3\sum ab\Leftrightarrow 12+2(\sum a)^2\geq 2\sum a+7\sum ab$
Đặt a+b+c=x,ab+ac+bc=y ta có BDT trên trở thành:
$12+2x^2\geq 3x+7y\Leftrightarrow 12x+2x^3\geq 3x^2+7xy$
Mặt khác theo BDT Schur ta có: $x^2+\frac{9}{x}\geq 4y(abc=1)\Leftrightarrow x^3+9\geq 4xy\Leftrightarrow \frac{7}{4}x^3+\frac{63}{4}\geq 7xy$
Do đó ta chỉ cần chứng minh$\frac{x^3}{4}+12x-\frac{63}{4}-3x^2\geq 0\Leftrightarrow (x-3)(x^2+9x+21)\geq 0$. Điều này hiển nhiên đúng do theo AM-GM:$x=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$
Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1