Chủ đề này có 2 trả lời

[nguoimaulanh2012]

cho các số thực dương a, b, c thõa $a+b+c=3$ chứng minh rằng:
$\frac{a\left (a-2b+c \right )}{ab+1}+\frac{b\left (b-2c+a \right )}{bc+1}+\frac{c\left (c-2a+b \right )}{ca+1}\geq 0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MIM: 31-10-2012 - 09:09

[nguoimaulanh2012]

cho các số thực dương a, b, c thõa $a+b+c=3$ chứng minh rằng:
$\frac{a\left (a-2b+c \right )}{ab+1}+\frac{b\left (b-2c+a \right )}{bc+1}+\frac{c\left (c-2a+b \right )}{ca+1}\geq 0$.

không mất tính tổng quát, giả sử: $a\geq b\geq c> 0$
$\bullet a \geq c\Rightarrow \frac{b\left ( b-2c+a \right )}{bc+1}\geq \frac{b\left ( b-2c+a \right )}{ab+1}$
$\bullet b \geq c\Rightarrow \frac{c\left ( c-2a+b \right )}{ca+1}\geq \frac{c\left ( c-2a+b \right )}{ab+1}$
S=$\frac{a\left (a-2b+c \right )}{ab+1}+\frac{b\left (b-2c+a \right )}{bc+1}+\frac{c\left (c-2a+b \right )}{ca+1}$
$\geq\frac{a\left ( a-2b+c \right )+b\left ( b-2c+a \right )+c\left ( c-2a+b \right )}{ab+1}$
$\Rightarrow S\geq \frac{3-\left ( ab+bc+ca \right )}{ab+1}$
$\Rightarrow S\geq \frac{3-3\sqrt[3]{\left ( abc \right )^{2}}}{ab+1}$
vì $ab+1> 0$ áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta được: $abc\leq 1$
$\Rightarrow$ đ.p.c.m
dấu đẳngthức xảy ra khi: $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 06-11-2012 - 01:17

[Tru09]

không mất tính tổng quát, giả sử: $a\geq b\geq c> 0$
$\bullet a \geq c\Rightarrow \frac{b\left ( b-2c+a \right )}{bc+1}\geq \frac{b\left ( b-2c+a \right )}{ab+1}$
$\bullet b \geq c\Rightarrow \frac{c\left ( c-2a+b \right )}{ca+1}\geq \frac{c\left ( c-2a+b \right )}{ab+1}$
S=$\frac{a\left (a-2b+c \right )}{ab+1}+\frac{b\left (b-2c+a \right )}{bc+1}+\frac{c\left (c-2a+b \right )}{ca+1}$
$\geq\frac{a\left ( a-2b+c \right )+b\left ( b-2c+a \right )+c\left ( c-2a+b \right )}{ab+1}$
$\Rightarrow S\geq \frac{3-\left ( ab+bc+ca \right )}{ab+1}$
$\Rightarrow S\geq \frac{3-3\sqrt[3]{\left ( abc \right )^{2}}}{ab+1}$
vì $ab+1> 0$ áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta được: $abc\leq 1$
$\Rightarrow$ đ.p.c.m
dấu đẳngthức xảy ra khi: $a=b=c=1$

Hình như bị ngược dấu bạn à ! vì trước ab+bc+ca có dấu - mà nên không AM -GM thẳng dc