Cho $x> 0$ , $y> 0$ x+y=1
CM $(1-\frac{1}{x^2})(1-\frac{1}{y^2})\geq 9$
Cho $x> 0$ , $y> 0$ x+y=1 CM $(1-\frac{1}{x^2})(1-\frac{1}{y^2})\geq 9$
Bắt đầu bởi tieuthumeo99, 01-11-2012 - 12:59
#2
Đã gửi 01-11-2012 - 23:11
kobietlamtoan
-
- Thành viên
-
- 112 Bài viết
Trung sĩ
bài này tương đối dễ!
Từ $x+y=1 \Rightarrow x^{2}+y^{2}+2xy=1$ ta có:
$(1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}}) =(\frac{1}{x^{2}}-1)(\frac{1}{y^{2}}-1)$
$=(\frac{(x+y)^{2}-x^{2}}{x^{2}})(\frac{(x+y)^{2}-y^{2}}{y^{2}}) = (\frac{x}{y}+\frac{x^{2}}{y^{2}})(\frac{y}{x}+\frac{y^{2}}{x^{2}})$
từ đây! ta dùng bđt Bunhia là xong
đẳng thức khi x=y=0,5
Từ $x+y=1 \Rightarrow x^{2}+y^{2}+2xy=1$ ta có:
$(1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}}) =(\frac{1}{x^{2}}-1)(\frac{1}{y^{2}}-1)$
$=(\frac{(x+y)^{2}-x^{2}}{x^{2}})(\frac{(x+y)^{2}-y^{2}}{y^{2}}) = (\frac{x}{y}+\frac{x^{2}}{y^{2}})(\frac{y}{x}+\frac{y^{2}}{x^{2}})$
từ đây! ta dùng bđt Bunhia là xong
đẳng thức khi x=y=0,5
- Oral1020 và tieuthumeo99 thích
Nghiêm Văn Chiến 97
#3
Đã gửi 06-11-2012 - 22:55
keobongyeutoan9x
-
- Thành viên
-
- 18 Bài viết
Binh nhì
cach 2 áp dụng bdt côsi ta có 4xy$\leq \left ( x+y \right )^{2}\leq 2\left ( x^{2}+y^{2} \right )$
A= $\left ( 1-\frac{1}{x^{2}} \right )\left ( 1-\frac{1}{y^{2}} \right )$= 1-$\left ( \frac{1}{x^{2}} +\frac{1}{y^{2}}\right )+\frac{1}{x^{2}y^{2}}$= 1-$\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}+\frac{1}{x^{2}y^{2}}$$\geq \frac{1}{x^{2}y^{2}}-\frac{2}{xy}+1$= $\left ( \frac{1}{xy}-1 \right )^{2}$$\geq\left ( \frac{\frac{1}{1}}{4}-1 \right )^{2}=9$
A= $\left ( 1-\frac{1}{x^{2}} \right )\left ( 1-\frac{1}{y^{2}} \right )$= 1-$\left ( \frac{1}{x^{2}} +\frac{1}{y^{2}}\right )+\frac{1}{x^{2}y^{2}}$= 1-$\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}+\frac{1}{x^{2}y^{2}}$$\geq \frac{1}{x^{2}y^{2}}-\frac{2}{xy}+1$= $\left ( \frac{1}{xy}-1 \right )^{2}$$\geq\left ( \frac{\frac{1}{1}}{4}-1 \right )^{2}=9$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
