Chủ đề này có 1 trả lời

[Tru09]

Bài toán :
Tìm $n \in Z$ sao cho $n.2^n +3^n \vdots 25$

[nguyenta98]

Bài toán :
Tìm $n \in Z$ sao cho $n.2^n +3^n \vdots 25$

Giải như sau:
TH1: $n$ lẻ
Suy ra $n.2^n+3^n=(n-1)2^n+(2^n+3^n)=(n-1)2^n+(2+3)(3^{n-1}-3^{n-2}.2+...-3.2^{n-2}+2^{n-1})$
Ta thấy $2 \equiv -3 \pmod{5} \Rightarrow 3^{n-1}-3^{n-2}.2+...-3.2^{n-2}+2^{n-1} \equiv n.2^{n-1} \pmod{5}$
Do đó $(2+3)(3^{n-1}-3^{n-2}.2+...-3.2^{n-2}+2^{n-1}) \equiv 5.n.2^{n-1} \pmod{25}$
Như vậy để $n.2^n+3^n \vdots 25 \Rightarrow (n-1).2^n+5.n.2^{n-1} \vdots 25 \Rightarrow 2(n-1)+5n \vdots 25 \Rightarrow 7n-2 \vdots 25$ suy ra $7n-2=25t \Rightarrow 7n=25t+2 \Rightarrow 25t+2 \vdots 7 \Rightarrow 4t+2 \vdots 7 \Rightarrow t=7j+3$
Do đó $7n-2=25(7j+3) \Rightarrow n=25j+11$ kết hợp $n$ lẻ suy ra $j$ chẵn nên $n=50r+11$
TH2: $n$ chẵn
Suy ra $n=2^x.y$ với $y$ lẻ suy ra $n.2^n+3^n=(n+1).2^n+3^n-2^n$ khi ấy $3^n-2^n=(3^y)^{2^x}-(2^y)^{2^x}=a^{2^x}-b^{2^x} \vdots (a+b)$ mà $a+b=3^y+2^y$ với $y$ lẻ nên $a+b \vdots 5 \Rightarrow 3^n-2^n \vdots 5 \Rightarrow (n+1)2^n \vdots 5 \Rightarrow n \equiv 4 \pmod{5}$ mà $n$ chẵn nên $n=10k+4$
$\boxed{1}$ Khi $k$ chẵn $n=20r+4$ lúc ấy $2^n \equiv (2^{20})^r.2^4 \equiv 16 \pmod{25}$ và $3^n \equiv 3^4 \equiv 6 \pmod{25}$
Do đó $16n+6 \vdots 25 \Rightarrow 16(20r+4)+6 \vdots 25 \Rightarrow 320r+70 \vdots 25 \Rightarrow 64r+14 \vdots 5 \Rightarrow 4n+4 \vdots 5 \Rightarrow r=5t+4$ do đó $n=20r+4=20(5t+4)+4=100t+84$
$\boxed{2}$ khi $k$ lẻ suy ra $n=20r+14$
Tương tự trên $84n+69 \vdots 25 \Rightarrow 9n+19 \vdots 25 \Rightarrow 9(20r+14)+19 \vdots 25 \Rightarrow 36r+19 \vdots 25 \Rightarrow r+4 \vdots 5 \Rightarrow r=5t+1$ suy ra $n=20r+14=20(5t+1)+14=100t+34$
Nhưng ở cả 2 khả năng $n=100t+84,100t+34$ thì đều cho ra một kết quả là $50t+34$
Vậy $\boxed{n=50t+11,50t+34}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 04-11-2012 - 13:27