Chủ đề này có 1 trả lời

[yellow]

Giải phương trình sau với $x, y$ là các số nguyên tố:
$[\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+...+[\sqrt{x^2-1}]=y$

[hxthanh]

$y=\left\lfloor\sqrt 1 \right\rfloor+\left\lfloor\sqrt 2 \right\rfloor+...+\left\lfloor\sqrt{x^2-1} \right\rfloor=$
$=\left(2^2-1^2\right)\times 1+\left(3^2-2^2\right)\times 2+...+\left(x^2-(x-1)^2\right)\times (x-1)$
$\Rightarrow y+(2^2+3^2+...+x^2)=(2^3-1^3)+(3^3-2^3)+...+(x^3-(x-1)^3)=x^3-1$
$\Rightarrow y=x^3-\dfrac{x(x+1)(2x+1)}{6}=\dfrac{x(x-1)(4x+1)}{6}$

Dễ thấy: $x=2\Rightarrow y=3$ hoặc $x=3\Rightarrow y=13$ thoả mãn

Giả sử $x=6k-1$ thì $y=(3k-1)(6k-1)(8k-1)$ là hợp số
Còn $x=6k+1$ thì $y=k(6k+1)(24k+5)$ cũng là hợp số

Kết luận $\boxed{(x=2,\;y=3)\quad or\quad (x=3,\;y=13)}$