Cho day ${a_1} = 1;{a_k} = k({a_{k - 1}} + 1)$.Tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \prod\limits_{k = 1}^n {(1 + \frac{1}{{{a_k}}})} $
ính $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \prod\limits_{k = 1}^n {(1 + \frac{1}{{{a_k}}})} $
Bắt đầu bởi dactai10a1, 02-11-2012 - 20:06
#2
Đã gửi 04-11-2012 - 22:57
PRONOOBCHICKENHANDSOME
-
- Thành viên
-
- 227 Bài viết
Thượng sĩ
Đặt $b_n = \frac{a_n}{n!}$
$\Rightarrow b_{n+1} = \frac{a_{n+1}}{(n+1)!} = \frac{a_n+1}{n!} = b_n + \frac{1}{n!} = ... = 1 + \frac{1}{1!}+\frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{n!}$
$\Rightarrow \lim_{n \to \infty } b_n = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{i!} = e $
Mặt khác dễ dàng CM $\prod_{k=1}^n ( 1+\frac{1}{a_k})= \frac{a_{n+1}}{(n+1)!} = b_{n+1}$
$\Rightarrow b_{n+1} = \frac{a_{n+1}}{(n+1)!} = \frac{a_n+1}{n!} = b_n + \frac{1}{n!} = ... = 1 + \frac{1}{1!}+\frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{n!}$
$\Rightarrow \lim_{n \to \infty } b_n = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{i!} = e $
Mặt khác dễ dàng CM $\prod_{k=1}^n ( 1+\frac{1}{a_k})= \frac{a_{n+1}}{(n+1)!} = b_{n+1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 04-11-2012 - 22:58
- dark templar và perfectstrong thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
