Chủ đề này có 7 trả lời

[Oral1020]

1)Cho $a,b>0$ thỏa $a+b=1$.Chứng minh
$(a+\dfrac{1}{a})^{2}+(b+\dfrac{1}{b})^{2} \ge \dfrac{25}{2}$
2)Cho $a,b> 0$ và $x^2+y^2=2$.Tìm $min$ của $A=x\sqrt{y(x+8)}+y\sqrt{x(y+8)}$
3)Tìm min của $P=\dfrac{(x^3+y^3)-(x^2+y^2)}{(x-1)(y-1)}$ $(x,y>1)$
4)Cho $x,y>0$ thỏa $x+y\ge 6$.Tìm $min$ của $3x+2y+\dfrac{6}{x}+\dfrac{8}{y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 06-11-2012 - 16:03

[Sagittarius912]

1)Cho $a,b>0$ thỏa $a+b=1$.Chứng minh
$(a+\dfrac{1}{a})^{2}+(b+\dfrac{1}{b})^{2} \ge \dfrac{25}{2}$

ta có :
$(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2} \geq \frac{(a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b})^{2}}{2}$ (1)

$a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}= a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+\frac{3}{4} (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 2\sqrt{a.\frac{1}{a}}+2\sqrt{b.\frac{1}{b}}+\frac{3}{4}\frac{(1+1)^{2}}{a+b} \Rightarrow a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}\geq 5$
(2)

từ (1) và (2) ta có đpcm ^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 10-11-2012 - 19:09

[tramyvodoi]

mình xin giải bài 3
P=$\frac{x^{3}-x^{2}+y^{3}-y^{2}}{(x-1)(y-1)}$
=$\frac{x^{2}(x-1)+y^{2}(y-1)}{(x-1)(y-1)}$
=$\frac{x^{2}}{y-1}+\frac{y^{2}}{x-1}$
$\geq \frac{(x+y)^{2}}{x+y-2}$ (cauchy swharzs)
bây giờ ta chỉ việc tìm min của
$\frac{(x+y)^{2}}{x+y-2}$
cái này không khó lắm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 06-11-2012 - 18:59

[tramyvodoi]

mình xin giải bài 4
áp dụng AMGM như sau
$\frac{6}{x}+\frac{3}{2}x\geq 6$
$\frac{8}{y}+\frac{1}{2}y\geq 4$
=>$\frac{6}{x}+\frac{3}{2}x+\frac{8}{y}+\frac{1}{2}y\geq 10$
=>$\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\geq -\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}y+10$
=>$\frac{6}{x}+\frac{8}{y}+3x+2y\geq \frac{3}{2}x+\frac{3}{2}y+10\geq \frac{3}{2}(x+y)+10\geq \frac{3}{2}.6+10\geq 19$
dấu "="xảy ra <=>x=2,y=4

[Sagittarius912]

2)Cho $a,b> 0$ và $x^2+y^2=2$.Tìm $min$ của $A=x\sqrt{y(x+8)}+y\sqrt{x(y+8)}$
\

bài này phải là tìm max chứ bạn, nếu 1 trong 2 số càng chạy dần về 0 thì A càng nhỏ mà?
nếu là tìm max thì mình xin làm như sau:
$3A=3x\sqrt{y(x+8)}+3y\sqrt{x(y+8)}\leq \frac{1}{2}(9x^{2}+xy+8y+9y^{2}+xy+8x)=9+4(x+y)+xy$
mặt khác
$(x+y)^{2}\leq (1+1)(x^{2}+y^{2})\Rightarrow x+y \leq 2$
và $xy\leq \frac{x^{2}+y^{2}}{2}= 1$

$\Rightarrow A\leq 6$
A đạt max khi x=y=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 15-11-2012 - 19:47

[Oral1020]

bài này phải là tìm max chứ bạn, nếu 1 trong 2 số càng chạy dần về 0 thì A càng nhỏ mà?
nếu là tìm max thì mình xin làm như sau: $A=x\sqrt{y(x+8)}+y\sqrt{x(y+8)}\leq \frac{1}{2}(x^{2}+xy+8y+y^{2}+xy+8x)=1+4(x+y)+xy$
mặt khác
$(x+y)^{2}\leq (1+1)(x^{2}+y^{2})\Rightarrow x+y \leq 2$
và $xy\leq \frac{x^{2}+y^{2}}{2}= 1$

$\Rightarrow A\leq 6$
A đạt max khi x=y=1

Bạn ơi cho mình hỏi
$x+y \le 2$ $\Rightarrow 4(x+y) \le 8$
Vậy thì $A \le 10$.Mà $x=y=1$ thì $A=6$
Giải thích giùm mình với

[Oral1020]

Mình chém luôn nhé:
Ta có $Q^2=[x\sqrt{y(x+8)}+y\sqrt{x(y+8)}]^2$
Theo $Cauchy-Schwarz$,ta có
$[x\sqrt{y(x+8)}+y\sqrt{x(y+8)}]^2 \le (x^2+y^2)[2xy+8(x+y)]=2[2xy+8(x+y)]$
Giống như bạn ta chứng minh dược $xy\le1$ và $x+y \le 2$
Như vậy $Q^2 \le 2.18=36$
Suy ra $Q \le 6$
Vậy $maxQ=6$ khi $x=y=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 15-11-2012 - 19:50

[Oral1020]

Bạn ơi cho mình hỏi
$x+y \le 2$ $\Rightarrow 4(x+y) \le 8$
Vậy thì $A \le 10$.Mà $x=y=1$ thì $A=6$
Giải thích giùm mình với

Hình như vẫn sai(Xem bài của mình thử xem)