Chủ đề này có 1 trả lời

[Mai Xuan Son]

Tìm tất cả các cặp $(a,b)$ thỏa mãn $a^{b^{2}}=b^{a}$

[nguyenta98]

Tìm tất cả các cặp $(a,b)$ thỏa mãn $a^{b^{2}}=b^{a}$

Mình đã giải ở đây

Giải như sau:
Đặt $gcd(a,b)=d \Rightarrow a=dm,b=dn,gcd(m,n)=1$
Suy ra $\left((dm)^{dn^2}\right)^{d}=\left((dn)^m\right)^d$
$\Rightarrow (dm)^{dn^2}=(dn)^m$
$\Rightarrow d^{dn^2}.m^{dn^2}=d^m.n^m$
TH1: $dn^2=m \Rightarrow m^{dn^2}=n^m$ mà $gcd(m,n)=1 \Rightarrow m=n=1$ mà $dn^2=m \Rightarrow d=1 \Rightarrow (a,b)=(1,1)$
TH2: $dn^2>m \Rightarrow d^{dn^2-m}.m^{dn^2}=n^m$
Thấy $n^m \vdots m^{dn^2}$ mà $gcd(m,n)=1 \Rightarrow m=1$
Suy ra $d^{dn^2-1}=n^1=n$
Nếu $d=1 \Rightarrow n=1 \Rightarrow (a,b)=(1,1)$
Nếu $d\geq 2 \Rightarrow d^{dn^2-1}\geq 2^{2n^2-1}$
Ta sẽ chứng minh $2^{2n^2-1}>n$ với mọi $n\geq 2$ (vì nếu $n=1 \Rightarrow m=d=1 \Rightarrow (a,b)=(1,1)$)
Thấy $n=2$ đúng
Giả sử $n=k$ đúng hay $2^{2k^2-1}>k$
Ta sẽ cm $n=k+1$ đúng hay $2^{2(k+1)^2-1}>(k+1)$
Thật vậy từ GTQN suy ra $2^{2(k+1)^2-1}>2^{2k^2}>2k>(k+1)$ suy ra $đpcm$
Do đó $n\geq 2$ không có nghiệm
TH3: $dn^2<m$
Suy ra $m^{dn^2}=d^{m-dn^2}.n^m$ cm tương tự suy ra $n=1$
Do đó $m^d=d^{m-d}$
Đặt $gcd(m,d)=u \Rightarrow m=ux,d=uy,gcd(u,y)=1$
Suy ra $(ux)^{uy}=(uy)^{u(x-y)}$
$\Rightarrow (ux)^y=(uy)^{x-y}$
$\Rightarrow u^y.x^y=u^{x-y}.y^{x-y}$
$\blacksquare$ Nếu $y=x-y \Rightarrow x^y=y^{x-y}$ mà $gcd(x,y)=1 \Rightarrow x=y=1$ nhưng $y=x-y=1-1=0$ vô lý
$\blacksquare$ Nếu $y>x-y \Rightarrow u^{2y-x}.x^y=y^{x-y}$
Thấy $y^{x-y} \vdots x^y$ mà $gcd(x,y)=1 \Rightarrow x=1 \Rightarrow u^{2y-1}=y^{1-y} \Rightarrow 1-y\geq 0 \Rightarrow y=1$
Suy ra $u=1 \Rightarrow m=1,d=1$ suy ra $(a,b)=(1,1)$
$\blacksquare$ Nếu $y<x-y \Rightarrow x^y=u^{x-2y}.y^{x-y} \Rightarrow x^y \vdots y^{x-y}$ mà $gcd(x,y)=1 \Rightarrow y=1 \Rightarrow x=u^{x-2}$
Mà $x-2\geq 0 \Rightarrow x\geq 2$
$\boxed{\text{KN1}}$ Nếu $x=2 \Rightarrow u^0=2$ vô lý
$\boxed{\text{KN2}}$ Nếu $x=3 \Rightarrow u=3 \Rightarrow d=3,m=9 \Rightarrow a=27,b=3$
$\boxed{\text{KN3}}$ Nếu $x=4 \Rightarrow 4=u^2 \Rightarrow u=2 \Rightarrow d=2,m=8 \Rightarrow a=16,b=2$
$\boxed{\text{KN4}}$ Nếu $x\geq 5$ ta có $x=u^{x-2}$
Khi $u=1$ suy ra vô lý
Khi $u\geq 2 \Rightarrow u^{x-2}\geq 2^{x-2}$
Ta sẽ chứng minh với $x\geq 5$ thì $2^{x-2}> x$ bằng quy nạp
Thật vậy $x=5$ đúng
Giả sử $x=k$ đúng hay $2^{k-2}>k$
Ta sẽ chứng minh $n=k+1$ cũng đúng hay $2^{k-1}>k+1$
Thật vậy theo GTQN suy ra $2^{k-1}>2k>k+1 \Rightarrow Q.E.D$
Do đó $x\geq 5$ không có nghiệm
Vậy $\boxed{(a,b)=(1,1),(27,3),(16,2)}$