Chủ đề này có 1 trả lời

[ilovelife]

Chứng minh với $a,b,c>0; p>=1$
$${a^p\over b+c}+{b^p\over a+c}+{c^p\over a+b}\geq {1\over 2}\,3^{2-p}\,(a+b+c)^{p-1}$$
(không biết nên đưa vào box THPT hay không, mình đang không chứng minh được mà không biết bất đẳng thức có đúng không - tự chém ra nhưng thay số vào thấy rất đúng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 09-11-2012 - 15:17

[NLT]

Chứng minh với $a,b,c>0; p>=1$
$${a^p\over b+c}+{b^p\over a+c}+{c^p\over a+b}\geq {1\over 2}\,3^{2-p}\,(a+b+c)^{p-1}$$
(không biết nên đưa vào box THPT hay không, mình đang không chứng minh được mà không biết bất đẳng thức có đúng không - tự chém ra nhưng thay số vào thấy rất đúng)

Mình nghĩ bài này dùng Holder + Chebyshev có thể xử được đó .
Giải như sau:
Dễ dàng theo Chebyshev, chứng minh được: $VT \ge \frac{1}{3} \sum{a^p} \sum {\frac{1}{b+c}}$.
Lại theo Holder:\[3^{p-1}.(a^p+b^p+c^p)=(a^p+b^p+c^p) (1+1+1)...(1+1+1) \ge (a+b+c)^p\]
Và theo Cauchy-Schwarz dạng Engel:\[\sum {\frac{1}{b+c}} \ge \frac{9}{2(a+b+c)}\]
Tới đây từ các BĐT vừa tìm được, mình nghĩ là sẽ ra kết quả , còn hệ số mình có nhầm thì xin lỗi nhé, mình hơi bận tí, không kiểm tra hoàn toàn được !
___
NLT

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 09-11-2012 - 16:12