Chủ đề này có 10 trả lời

[Oral1020]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.Chứng minh $a^2+b^2+c^2+abc \ge 4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 10-11-2012 - 18:46

[25 minutes]

BĐT tương đương $2(a^2+b^2+c^2)+2abc+1\geq 9$
Ta có bổ đề cơ bản sau $a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ac)$
$\Rightarrow$ 2(a^2+b^2+c^2)+2abc+1\geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=(a+b+c)^2=9$
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1 ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 10-11-2012 - 20:59

[Sagittarius912]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.Chứng minh $a^2+b^2+c^2+abc \ge 4$

mình có đọc phương pháp dồn biến trong STBĐT, bây giờ lôi ra thử nghiệm tí, , sai thì bỏ qua cho mình nhé
đặt $f(a,b,c)= a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc-4$
không mất tình tổng quát giả sử $a\leq b\leq c$
ta cần chứng minh
$f(a,b,c)\geq f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2})$
xét
$f(a,b,c)-f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2})= b^{2}+c^{2}-\frac{(b+c)^{2}}{2}+a(bc-\frac{(b+c)^{2}}{4})=\frac{(b-c)^{2}}{2}(1-\frac{a}{2})$
mặt khác vì ta có
$a+b+c=3\Rightarrow f(a,b,c)-f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2})= \frac{(b-c)^{2}}{2}(\frac{b+c-1}{2})\geq 0$
mà $f(a,b,c)\geq 0$ khi $b=c$
vậy ta có đpcm. dấu "=" khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 10-11-2012 - 20:29

[Nxb]

mình có đọc phương pháp dồn biến trong STBĐT, bây giờ lôi ra thử nghiệm tí, , sai thì bỏ qua cho mình nhé
đặt $f(a,b,c)= a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc-4$
không mất tình tổng quát giả sử $a\leq b\leq c$
ta cần chứng minh
$f(a,b,c)\geq f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2})$
xét
$f(a,b,c)-f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2})= b^{2}+c^{2}-\frac{(b+c)^{2}}{2}+a(bc-\frac{(b+c)^{2}}{4})=\frac{(b-c)^{2}}{2}(1-\frac{a}{2})$
mặt khác vì ta có
$a+b+c=3\Rightarrow f(a,b,c)-f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2})= \frac{(b-c)^{2}}{2}(\frac{b+c-1}{2})\geq 0$
vậy ta có đpcm. dấu "=" khi $a=b=c=1$

Đến đây vẫn chưa xong, bạn giải tiếp đi

[mylinhvo9997]

Ta có $abc\geq (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)=(3-2a)(3-2b)(3-2c)\Rightarrow abc\geq \frac{4}{3}(ab+bc+ca)-3 \rightarrow VT\geq (a+b+c)^{2}-\frac{2}{3}(ab+bc+ca)-3\geq 9-\frac{2}{3}\frac{(a+b+c)^{2}}{3}-3=4$ -->Q.E.D

[Sagittarius912]

Ta có $abc\geq (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)=(3-2a)(3-2b)(3-2c)\Rightarrow abc\geq \frac{4}{3}(ab+bc+ca)-3 \rightarrow VT\geq (a+b+c)^{2}-\frac{2}{3}(ab+bc+ca)-3\geq 9-\frac{2}{3}\frac{(a+b+c)^{2}}{3}-3=4$ -->Q.E.D

cái này chỉ đúng vơi 3 cạnh 1 tam giác thôi mà????

[Mai Xuan Son]

cái này chỉ đúng vơi 3 cạnh 1 tam giác thôi mà????

Nó vẫn đúng vs 3 số dương

[Nxb]

Thực ra là với mọi số thực

[MazacarJin15]

Đây cũng là một cách dồn biến :
Không mất tính TQ giả sử $c=min{a,b,c}$
Có $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc-4=(a+b)^{2}+c^{2}+ab(c-2)-4\geq (3-c)^2+c^2+\frac{(3-c)^2(c-2)}{4}-4\geq 0$

''=" xảy ra khi a=b=c=1.$\blacksquare$

[Sagittarius912]

(a+b)^{2}+c^{2}+ab(c-2)-4\geq (3-c)^2+c^2+\frac{(3-c)^2(c-2)}{4}-4\geq 0$

nói rõ đoạn này hơn tí được không bạn??

[MazacarJin15]

Theo BĐT AM-GM $ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}$.
Vì c=min {a,b,c} nên $c-2<0$.
Suy ra $ab(c-2)\geq \frac{(a+b)^2}{4}(c-2)=\frac{(3-c)^2(c-2)}{4}$