Chủ đề này có 1 trả lời

[L Lawliet]

Bài toán: Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left ( x-f\left ( y \right ) \right )=f\left ( f\left ( y \right ) \right )+xf\left ( y \right )+f\left ( x \right )-1, \ \ \forall x,y\in \mathbb{R}$.

[tramyvodoi]

mình xin giải bài này như sau:
f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1 (3)
đặt f(0)=a
trong (3), thay x bởi f(y0 ta đc:
a=f(0)=2f(f(y))+(f(y))²-1=>f(f(y))=$-\frac{1}{2}(f(y))^{2}+\frac{a+1}{2}$
hay $f(f(x))=-\frac{1}{2}(f(x))^{2}+\frac{a+1}{2}$
thay x bởi f(x) vào (3) ta đc
$f(f(x)-f(y))=f(f(y))+f(y)f(x)+f(f(x))-1$
=$-\frac{(f(x))^{2}}{2}+\frac{a+1}{2}+f(x)f(y)-\frac{(f(y))^{2}}{2}+\frac{a+1}{a}-1$
=>$f(f(x)-f(y))=-\frac{(f(x)-f(y))^{2}}{2}+a$
nhân xét hàm f(x)$\equiv 0$ không thỏa nên tồn tại $y_{0}$ thỏa $f(y_{0})$ khác 0
thay y bởi $y_{0}$ trong (3) ta đc:
f(x-$f(y_{0})$)-f(x)=x$f(y_{0})$+f($f(y_{0})$)-1 (3c)
cho x thay đổi trong R thì vế phải của (3c) là hàm bậc 1 theo x nên tập giá trị vế phải là R,
=>với mổi x thuộc R luôn tồn tại u,v thuộc R sao cho x=f(u)-f(v)
khi đó áp dụng (3c) ta đc
f(x)=f(f(u)-f(v))=$-\frac{(f(u)-f(v))^{2}}{2}+a$=$-\frac{x^{2}}{2}+a$
thay lại vào (3) ta đc a=1
vậy $f(x)=-\frac{x^{2}}{2}+1$ là hàm duy nhất thỏa mãn