Chủ đề này có 1 trả lời

[dactai10a1]

CHung minh $S = C_{2n + 1}^0{.2^{2n}} + C_{2n + 1}^2{.2^{2n - 2}}.3 + ... + C_{2n + 1}^{2n}{.3^n}$ có thể biễu diễn thành tổng 2 số chính phương liên tiếp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dactai10a1: 14-11-2012 - 20:54

[Secrets In Inequalities VP]

Đặt $a=1+\sqrt{3},b= 1-\sqrt{3}\Rightarrow ab=-2;\frac{a^2}{2}= 2+\sqrt{3};\frac{b^2}{2}= 2-\sqrt{3}$
${P_n}= \frac{1}{2}(a^{2n+1}+b^{2n+1})$
Dùng khai triển Newton cho $(1+\sqrt{3})^{2n+1},(1-\sqrt{3})^{2n+1}$ta suy ra đc ${P_n}= \sum_{k=0}^{n}\binom{2k}{2n+1}.3^k$ là số nguyên .
Lại dùng Newton cho $(2+\sqrt{3})^{2n+1},(2-\sqrt{3})^{2n+1}$ ta đc:
${S_n}= \frac{(\frac{a^2}{2})^{2n+1}+(\frac{b^2}{2})^{2n+1}}{4}= \frac{a^{4n+2}+b^{4n+2}}{2^{2n+3}}= \frac{a^{4n+2}+2(ab)^{2n+1}+b^{4n+2}}{2^{2n+3}}+\frac{1}{2}= \frac{{P_n}^{2}}{2^{2n+1}}+\frac{1}{2}$
Nhân chéo lên
$\Rightarrow {P_n}^{2}\vdots 2^{2n},{P_n}^{2}\not\vdots 2^{2n+1}\Rightarrow {P_n}^{2}= m2^{2n}$ ( m lẻ )
Mà ${P_n}^{2}$ và $2^{2n}$ chính phuong nên $m= (2p+1)^{2}$
$\Rightarrow {P_n}^{2}= (2p+1)^22^{2n}$
$\Rightarrow {P_n}= (2p+1)2^{^{n}}\Rightarrow\frac{{P_n}-2^n}{2^{n+1}}= p$
Mà dễ thấy :
${S_n}= \frac{{P_n}^{2}}{2^{2n+1}}+\frac{1}{2}= (\frac{{P_n}-2^n}{2^{n+1}})^{2}+(\frac{{P_n}+2^n}{2^{n+1}})^{2}= p^{2}+(p+1)^{2}$
Vậy ta có $Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 15-11-2012 - 22:03