Chủ đề này có 1 trả lời

[vanhieu9779]

$\frac{a+b}{b+c}.\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b+c}{c+a}.\frac{b}{2b+c+a}+\frac{c+a}{a+b}.\frac{c}{2c+a+b}\geq \frac{3}{4}$

[Sagittarius912]

$\frac{a+b}{b+c}.\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b+c}{c+a}.\frac{b}{2b+c+a}+\frac{c+a}{a+b}.\frac{c}{2c+a+b}\geq \frac{3}{4}$

bai nay minh su dung pp chuan hoa nhu sau
không mất tinh tong quat gia su $a+b+c=3$ khi do bdt can chung minh tro thanh

$\sum \frac{(3-c)a}{(3-a)(3+a)}\geq \frac{3}{4}$

hay $\sum \frac{(3-c)a}{9-a^{2}}\geq \frac{3}{4}$
khong mat tinh tong quat gia su $a\geq b\geq c$ thi
$\frac{a}{9-a^{2}}\geq \frac{b}{9-b^{2}}\geq \frac{c}{9-c^{2}}$
va $3-c\geq 3-b\geq 3-a$
ap dung bdt chebyshez ta co:
$\sum \frac{(3-c)a}{(3-a)(3+a)}\geq \frac{1}{3}\sum (3-c)\sum \frac{a}{9-a^{2}}= 2\sum \frac{a}{9-a^{2}}$ (1)
mat khac
$\sum \frac{a}{9-a^{2}}= \sum \frac{a^{2}}{9a-a^{3}}\geq \frac{(\sum a)^{2}}{\sum 9a-\sum a^{3}}$ (2)
và $\sum a^{3}\geq \frac{(\sum a)^{3} }{9}$ (3)
tu (1)(2)(3) ta co dpcm
dau "=" xay ra khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 16-11-2012 - 09:40