Chủ đề này có 3 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán 1.
Chứng minh $\forall$ số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$ ta luôn có:
$$\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+a^2}}\geq 2+\frac{1}{\sqrt{2}}$$
Bài toán 2.
Chứng minh $\forall$ số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=2$ ta cũng có:
$$\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+a^2}}\geq 2+\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 18-11-2012 - 17:01

[duongvanhehe]

Bài toán 1.
Chứng minh $\forall$ số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$ ta luôn có:
$$\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+a^2}}\geq 2+\frac{1}{\sqrt{2}}$$
Bài toán 2.
Chứng minh $\forall$ số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=2$ ta cũng có:
$$\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+a^2}}\geq 2+\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Bài 2:
Giả sử $c$ là số bé nhất trong 3 số $a,b,c$ .Ta có:
$\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+a^2}}$
$\geq \frac{1}{\sqrt{(a+\frac{c}{2})^2+(b+\frac{c}{2})^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+bc}}+\frac{1}{\sqrt{a^2+ca}}\geq \frac{1}{\sqrt{(a+\frac{c}{2})^2+(b+\frac{c}{2})^2}}+\frac{1}{b+\frac{c}{2}}+\frac{1}{a+\frac{c}{2}}$
Giờ ta chỉ cần CM BĐT khi có biến $c=0$ .Tức là:
$\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{a+b}{a}+\frac{a+b}{b}\geq 4+\sqrt{2}\Leftrightarrow \frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{a^2+b^2}{ab}\geq 2+\sqrt{2}$
Điều này đúng vì:
$2 \frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}+2\frac{a^2+b^2}{ab}$
$\geq 2\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}+2\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}+\frac{a^2+b^2}{\sqrt{2}ab}+(2-\frac{1}{\sqrt{2}}).\frac{a^2+b^2}{ab}$
$\geq 3\sqrt{2}+2(2-\frac{1}{\sqrt{2}})=4+2\sqrt{2}$
Đẳng thức xảy ra khi trong $a,b,c$ có một số bằng $0$ ,hai số còn lại bằng nhau.

Bài 1:
Có thể làm tương tự đến bước:
$\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+a^2}}\geq \frac{1}{\sqrt{(a+\frac{c}{2})^2+(b+\frac{c}{2})^2}}+\frac{1}{b+\frac{c}{2}}+\frac{1}{a+\frac{c}{2}}$
Đến đây để ý $(a+\frac{c}{2})(b+\frac{c}{2})=ab+\frac{ac+bc}{2}+\frac{c^2}{4}\leq ab+bc+ca=1$
Tức là ta chỉ cần chứng minh được :
$\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 2+\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $ab\leq 1$
Điều này khá đơn giản...

[Joker9999]

Bài 2:

Giờ ta chỉ cần CM BĐT khi có biến $c=0$ .Tức là:

Giải thích hộ tớ được ko?

[Joker9999]

Đến đây để ý $(a+\frac{c}{2})(b+\frac{c}{2})=ab+\frac{ac+bc}{2}+\frac{c^2}{4}\leq ab+bc+ca=1$

Đây là 1 bài toán có cách giải tương tự như bài trang 119-120 trong Sáng tạo BDT của anh Hùng. Cốt là đánh giá được:$a^2+c^2\leq (a+\frac{c}{2})^2;b^2+c^2\leq (b+\frac{c}{2})^2;a^2+b^2\leq (a+\frac{c}{2})^2+(b+\frac{c}{2})^2$
Cả 2 bài đều có lời giải như nhau:
Đều đặt x=$a+\frac{c}{2}$; y=$b+\frac{c}{2}$, cả 2 bài đểu đưa về$\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 2+\frac{1}{\sqrt{2}}$

bài 1 thì $(a+\frac{c}{2})(b+\frac{c}{2})=ab+\frac{ac+bc}{2}+\frac{c^2}{4}\leq ab+bc+ca=1$
còn bài 2 x+y=2 nên xy$\leq 1$
Đẳng thức 2 bài xảy ra khi và chỉ khi a=b=1,c=0 hoặc các hoán vị
-----------
2 cách là 1 mà cậu ^^~

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 19-11-2012 - 23:00