Chủ đề này có 1 trả lời

[duongvanhehe]

Bài toán:
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{3(a^3+b^3+c^3)}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}}$

[Joker9999]

Bài toán:
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{3(a^3+b^3+c^3)}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}}$

Giải như sau:
Chuẩn hoá a+b+c=3. BDT đã cho tương đương với:
$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(a+b+c)-3(a+b+c)\geq 9\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}}-9\Leftrightarrow \sum (a-b)^2(\frac{2a+c}{2ab}-\frac{9(a+b)}{3(a^2+b^2+c^2)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)})\geq 0$
Trong đó x=$\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}}$
Ta có:$3(a^3+b^3+c^3)\geq (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\Rightarrow x\geq 1$$3(a^3+b^3+c^3)\geq (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\Rightarrow x\geq 1$
Như vậy ta cần CM:$\sum S_{c}(a-b)^2\geq 0$ với $S_{c}=\frac{2a+c}{2ab}-\frac{a+b}{a^2+b^2+c^2}$
$S_{b}=\frac{2c+b}{2ac}-\frac{a+c}{a^2+b^2+c^2}$
$S_{a}=\frac{2b+a}{2bc}-\frac{b+c}{a^2+b^2+c^2}$
Như vậy
TH1:"$a\geq b\geq c$ thì$S_{c};S_{a}\geq 0$, khi đó dễ CM:$S_{c}+2S_{b};S_{a}+2S_{b}\geq 0$( THật vậy chỉ cần quy đồng ta trừ triệt tiêu)
TH2:$a\leq b\leq c$: CM hoàn toạn tương tự
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
Chứng minh hoàn tất