Chủ đề này có 2 trả lời

[tramyvodoi]

Cho các số không âm a,b,c thỏa a+b+c=2. Chứng minh rằng:
$a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}\leq 1$

[WhjteShadow]

Cho các số không âm a,b,c thỏa a+b+c=2. Chứng minh rằng:
$a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}\leq 1$

Đặt $f_{(a;b;c)}=a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}$
Không mất tính tổng quát giả sử $c=Min(a;b;c)$ ta sẽ chứng minh $f_{(a;b;c)}\leq f_{(a+\frac{c}{2};b+\frac{c}{2};0)}$
Hay tương đương với:
$$a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}\leq \left(a+\frac{c}{2}\right)^3.\left(b+\frac{c}{2}\right)^3$$
Điều này luôn đúng do:
$$\left(a+\frac{c}{2}\right)^3.\left(b+\frac{c}{2}\right)^3\geq \left(a^3+\frac{3a^2c}{2}\right)\left(b^3+\frac{3b^2c}{2}\right) $$
$$\geq \left(a^3+c^3\right)\left(b^3+c^3\right)\geq a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3$$
Vậy nên ta chỉ cần chứng minh $f_{(a+\frac{c}{2};b+\frac{c}{2};0)}\leq 1$
$$\Leftrightarrow \left(a+\frac{c}{2}\right).\left(b+\frac{c}{2}\right)\leq 1$$
Và điều này hiển nhiên đúng the0 bất đẳng thức $AM-GM$:
$$\left(a+\frac{c}{2}\right).\left(b+\frac{c}{2}\right)\leq \frac{(a+b+c)^2}{4}=1$$
Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại $a=b=1$, $c=0$ và các hoán vị $\square$

[Secrets In Inequalities VP]

Cho các số không âm a,b,c thỏa a+b+c=2. Chứng minh rằng:
$a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}\leq 1$

Lâu lâu ms làm bđt !
Giả sủ $a=max(a,b,c)$
Dễ thấy $3a^3(b+c)\geq b^2c^2\Rightarrow 3a^3bc(b+c)\geq b^3c^3$
$\Rightarrow VT\leq a^3b^3+3a^3bc(b+c)+a^3c^3= a^3(b+c)^3$
$a(b+c)\leq \frac{[[a+(b+c)]]^2}{4}= 1\Rightarrow VT\leq 1\Rightarrow Q.E.D$