Chủ đề này có 3 trả lời

[beontop97]

Tìm các hàm số f: R -> R thỏa $f\left ( x^{3}-y \right )+2y\left [ 3f^{2}\left ( x \right )+y^{2} \right ]= f\left [ y+f\left ( x \right ) \right ]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi beontop97: 26-11-2012 - 16:18

[perfectstrong]

Lời giải:
\[
f\left( {x^3 - y} \right) + 2y\left[ {3f\left( x \right)^2 + y^2 } \right] = f\left( {y + f\left( x \right)} \right),\left( 1 \right)
\]
Trong (1), thay $y$ bởi $\dfrac{x^3-f(x)}{2}$, ta có:
\[
\begin{array}{l}
f\left( {\frac{{x^3 + f\left( x \right)}}{2}} \right) + \left( {x^3 - f\left( x \right)} \right)\left[ {3f\left( x \right)^2 + \left( {\frac{{x^3 - f\left( x \right)}}{2}} \right)^2 } \right] = f\left( {\frac{{x^3 + f\left( x \right)}}{2}} \right) \\
\Rightarrow \left( {x^3 - f\left( x \right)} \right)\left[ {3f\left( x \right)^2 + \left( {\frac{{x^3 - f\left( x \right)}}{2}} \right)^2 } \right] = 0,\forall x \\
\Rightarrow \forall x:\left[ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = x^3 \\
f\left( x \right) = \frac{{x^3 - f\left( x \right)}}{2} = 0 \Leftrightarrow x = f\left( x \right) = 0 \\
\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = x^3 \\
\end{array}
\]
Thử lại:
\[
VT\left( 1 \right) - VP\left( 1 \right) = \left( {x^3 - y} \right)^3 + 2y\left( {3x^6 + y^2 } \right) - \left( {x^3 + y} \right)^3 = 0,\forall x,y
\]
Kết luận: $f(x)=x^3\,\,\forall x$

[phatthientai]

Lời giải:
\[
f\left( {x^3 - y} \right) + 2y\left[ {3f\left( x \right)^2 + y^2 } \right] = f\left( {y + f\left( x \right)} \right),\left( 1 \right)
\]
Trong (1), thay $y$ bởi $\dfrac{x^3-f(x)}{2}$, ta có:
\[
\begin{array}{l}
f\left( {\frac{{x^3 + f\left( x \right)}}{2}} \right) + \left( {x^3 - f\left( x \right)} \right)\left[ {3f\left( x \right)^2 + \left( {\frac{{x^3 - f\left( x \right)}}{2}} \right)^2 } \right] = f\left( {\frac{{x^3 + f\left( x \right)}}{2}} \right) \\
\Rightarrow \left( {x^3 - f\left( x \right)} \right)\left[ {3f\left( x \right)^2 + \left( {\frac{{x^3 - f\left( x \right)}}{2}} \right)^2 } \right] = 0,\forall x \\
\Rightarrow \forall x:\left[ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = x^3 \\
f\left( x \right) = \frac{{x^3 - f\left( x \right)}}{2} = 0 \Leftrightarrow x = f\left( x \right) = 0 \\
\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = x^3 \\
\end{array}
\]
Thử lại:
\[
VT\left( 1 \right) - VP\left( 1 \right) = \left( {x^3 - y} \right)^3 + 2y\left( {3x^6 + y^2 } \right) - \left( {x^3 + y} \right)^3 = 0,\forall x,y
\]
Kết luận: $f(x)=x^3\,\,\forall x$

Bạn cho mình hỏi làm sao bạn có ý tưởng là thay $y$ bởi $\dfrac{x^3-f(x)}{2}$ như vậy không?

[perfectstrong]

Bạn cho mình hỏi làm sao bạn có ý tưởng là thay $y$ bởi $\dfrac{x^3-f(x)}{2}$ như vậy không?

Ta tìm $y$ để $x^3-y=y+f(x)$, từ đó khử bớt hạng tử.