$(a+b+c)(x+y+z)=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})=4$
CMR: $abcxyz< \frac{1}{36}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 01-12-2012 - 13:05
Cho $a,b,c,x,y,z$ là các số thực dương sao cho $(a+b+c)(x+y+z)=(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=4$ CM: $abcxyz<\frac{1}{36}$
Bắt đầu bởi vanhieu9779, 27-11-2012 - 19:52
#1
Đã gửi 27-11-2012 - 19:52
vanhieu9779
-
- Thành viên
-
- 152 Bài viết
Trung sĩ
Cho a,b,c,x,y,z là các số thực dương thỏa mãn
$(a+b+c)(x+y+z)=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})=4$
CMR: $abcxyz< \frac{1}{36}$
$(a+b+c)(x+y+z)=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})=4$
CMR: $abcxyz< \frac{1}{36}$
#2
Đã gửi 27-11-2012 - 21:01
dark templar
-
- Hiệp sỹ
-
- 3788 Bài viết
Kael-Invoker
Sử dụng AM-GM,ta có:Cho a,b,c,x,y,z là các số thực dương thỏa mãn
$(a+b+c)(x+y+z)=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})=4$
CMR: $abcxyz< \frac{1}{36}$
$$4(ab+bc+ca)(xy+yz+zx)=[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)][(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]$$
$$=20-(a+b+c)^2(xy+yz+zx)-(x+y+z)^2(ab+bc+ca) \le 4$$
Hay:
$$(ab+bc+ca)(xy+yz+zx) \le 1$$
Mặt khác,ta có:
$$(ab+bc+ca)^2 \ge 3abc(a+b+c)$$
$$(xy+yz+zx)^2 \ge 3xyz(x+y+z)$$
Suy ra:
$$36abcxyz \le (xy+yz+zx)^2(ab+bc+ca)^2 \le 1 \iff abcxyz \le \frac{1}{36}$$
Việc chứng minh không có dấu đẳng thức nhường lại cho bạn
P/s:Mấy bài bạn post toàn lấy trong cuốn Old and New Inequality ? Cho bạn đường link download bản Tiếng Việt $\to $ Old and New Inequality.
- Zaraki và WhjteShadow thích
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
