Chủ đề này có 2 trả lời

[chaugaihoangtuxubatu]

Chứng minh rằng : $A=(7+4\sqrt{3})^{13}+(7-4\sqrt{3})^{13}$ là một số nguyên chia hết cho 14.

[nthoangcute]

Chứng minh rằng : $A=(7+4\sqrt{3})^{13}+(7-4\sqrt{3})^{13}$ là một số nguyên chia hết cho 14.

Ta thấy rằng:
Đặt $a=7+4\sqrt{3}$ và $b=7-4\sqrt{3}$ thì:
$a,b$ là hai nghiệm của phương trình bậc 2:
$X^2-14X+1=0$
Suy ra $S=a+b=14$ và $P=ab=1$
Chứng minh $A$ nguyên thì đơn giản:
$a^2+b^2=S^2-2P \in Z$
$a^3+b^3=S(S^2-3P) \in Z$
$a^4+b^4=(S^2-2P)^2-2P^2 \in Z$
...
$a^{13}+b^{13}=S \left( -156\,{S}^{6}{P}^{3}+{S}^{12}-13\,{S}^{10}P+65\,{S}^{8}{P}^{2
}+182\,{S}^{4}{P}^{4}-91\,{S}^{2}{P}^{5}+13\,{P}^{6} \right) \in Z$

Từ đó ta thấy:
$a^{13}+b^{13}$ chia hết cho $S$
Hay $a^{13}+b^{13}$ chia hết cho $14$

[zipienie]

Chú ý là $(7+4\sqrt{3})^{13}=A+B\sqrt{3}$ và $(7-4\sqrt{3})^{13}=A-B\sqrt{3}$, trong đó $A,B$ là các số nguyên. Vậy nên suy ra $$(7+4\sqrt{3})^{13}+(7-4\sqrt{3})^{13}=2A$$
Mặt khác thì áp dụng hằng đẳng thức $x^{2n+1}+y^{2n+1}=(x+y)(x^{2n}+..+y^{2n})$ nên ta có $(7+4\sqrt{3})^{13}+(7-4\sqrt{3})^{13}=14.S$ trong đó $S$ là một số nào đó.
Từ đó ta có điều pải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zipienie: 28-11-2012 - 22:31