Chủ đề này có 3 trả lời

[tranghieu95]

Tìm các số nguyên dương s để tồn tại bộ số $(x_1; x_2;...; x_s)$ nguyên dương thỏa mãn:
$$\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}+...+\dfrac{1}{x_s^2}=1$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranghieu95: 29-11-2012 - 19:21

[nguyenta98]

Tìm các số nguyên dương s để tồn tại bộ số $(x_1; x_2;...; x_s)$ nguyên dương thỏa mãn:
$$\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}+...+\dfrac{1}{x_s^2}=1$$

Bài này không hề khó
Giải như sau:
$s=1$ thì $x_1=1$ chọn
$s>1$ thì $x_1,x_2,...,x_s>0$ khi ấy do $\dfrac{1}{x_i^2}<1$ nên $x_i>1$
Do đó $A\le \dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{s^2}\le \dfrac{1}{1.2}+...+\dfrac{1}{(s-1)s}=1-\dfrac{1}{s}<1$ loại
Vậy $s=1$

[The Gunner]

anh nghĩ bài này các nghiệm ko phân biệt mới khó nguyenta98 à.
Bài này nếu tìm $s$ thì thấy hình như hơi bị nhiều, ta xét cái bình phương là lũy thừa $m$ như sau
với phương trình mới là $\frac{1}{x_1^m}+\frac{1}{x_2^m}+...+\frac{1}{x_s^m}=1$
1) Ta nhận thấy rằng với $s=a^m$ thì ta có bộ nghiệm là $(a,a,...,a)$
2) Nếu mà $s$ thỏa mãn pt có nghiệm thì $s+a^m-1$ cũng thỏa mãn vì khi đó ta có bộ $(ax_1,ax_2,...,ax_s,a,a,....,a)$
Do đó pt có nghiệm khi $s$ có dạng $s=k(a^m-1)+l(b^m-1)+1$ (*)
Mà ta có bài toán sau với $(a,b)=1$ và $s \geq ab-a-b+1=(a-1)(b-1)$ thì với mọi $s \in \mathbb{N}$ thì luôn tồn tại $k,l$ sao cho $s=ka+lb$
Thật vậy giả sử $s \equiv m (\mod a)$ vì $s \geq (a-1)(b-1)$ nên các số $m,m+a,...,m+(b-1)a$ là một hệ thặng dư đầy đủ modulo b vì $(a,b)=1$
nên tồn tại $k$ để$m+ka \equiv 0 (\mod b)$
do đó tồn tại $k,l$ để $s=ka+lb$
khi $s$ đủ lớn thì nó luôn biểu diễn được dưới dạng (*), lúc đó pt luôn có nghiệm
Với bài toán này $m=2$ thì mình tính sơ ko bik đúng ko thì khi $s \geq 2.34+1=69$ thì pt luôn có nghiệm, còn nếu nhỏ hơn thì chắc xét mấy số có biểu diễn như (*) chẳng hạn (chỗ này mình vẫn chưa kiếm đc cách nào để tính cho dễ)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi The Gunner: 02-12-2012 - 22:10

[nguyenta98]

Tìm các số nguyên dương s để tồn tại bộ số $(x_1; x_2;...; x_s)$ nguyên dương thỏa mãn:
$$\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}+...+\dfrac{1}{x_s^2}=1$$

Giải như sau:
Trước tiên ta có nhận định
Nếu $s$ là số thỏa mãn $\dfrac{1}{x_1^2}+...+\dfrac{1}{x_s^2}=1$ có nghiệm
Thì $\dfrac{1}{(2x_1)^2}+...+\dfrac{1}{(2x_s)^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2}=1$ nên $s+3$ cũng thỏa
Như thế nếu $s$ thỏa đề thì $s+3$ cũng thỏa đề
Thấy $s=1$ hiển nhiên thỏa vì chọn $x_1=1$ do đó $s+3=4$ thỏa,... hay tóm lại $s=3k+1$ sẽ thỏa đề
Với $s=6$ có nghiệm $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{4}$ như vậy $s+3=9$ thỏa,... hay $s=3k$ với $k\geq 2$ thỏa, còn $k=1$ hay $s=3$ bằng phương pháp chặn miền nghiệm ta dễ thu không có $a_1\le a_2\le a_3$ để $\dfrac{1}{a_1^2}+\dfrac{1}{a_2^2}+\dfrac{1}{a_3^2}=1$
Với $s=8$ có nghiệm $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{49}+\dfrac{1}{196}+\dfrac{1}{441}=1$
Như vậy $s=3k+2$ có nghiệm với $k\geq 2$ và nếu $k=0,1$ thì $s=2,5$ cũng bằng phương pháp chặn ta thu được vô nghiệm
Vậy $\boxed{s=\{3k|k\geq 2\},\{3k+1\},\{3k+2|k\geq 2\}}$