Chủ đề này có 2 trả lời

[WhjteShadow]

Lâu ùi mới p0st đề :")
Bài toán 1.
Ch0 $a,b,c$ và $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\frac{x}{y+z}(b+c)+\frac{y}{x+z}(a+c)+\frac{z}{x+y}(a+b)\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}$$
Bài toán 2.
Ch0 tam giác $ABC$ nhọn. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\frac{\cos A \cos B}{\sin 2C}+\frac{\cos B \cos C}{\sin 2A}+\frac{\cos C \cos A}{\sin 2B}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$$

[dark templar]

Lâu ùi mới p0st đề :")
Bài toán 1.
Ch0 $a,b,c$ và $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\frac{x}{y+z}(b+c)+\frac{y}{x+z}(a+c)+\frac{z}{x+y}(a+b)\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}$$

Tổng quát cho bài 1:
Tổng quát: Cho $2n$ số dương $x_1;...;x_{n};y_1;...;y_{n}$ thỏa mãn:$\sum_{1 \le i<j \le n}y_{i}y_{j}=\binom{n}{2}$.
Đặt $S=\sum_{k=1}^{n}x_{k}$.Chứng minh BĐT sau:
$$\sum_{i=1}^{n}\left ( \frac{x_{i}}{S-x{i}}\sum_{j \neq i}y_{j} \right ) \geqslant n$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 29-11-2012 - 17:09

[Poseidont]

Đồng bậc nên ta chuẩn hóa abc=1 ( đúng k nhỉ)
$P=\sum \frac{x}{y+z}.(b+c)+\sum (b+c)=\sum (x+y+z).\frac{b+c}{y+z}=\frac{1}{2}\sum [\sum (y+z)].\frac{b+c}{y+z}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz
$P\geq \frac{1}{2}(\sum \sqrt{x+y})^2-2\sum x=\sum \sqrt{(x+y)(x+z)}-\sum x$
$(y+z,z+x,x+y) \rightarrow (2m^2,2n^2,2p^2)$
Dễ dàng chứng minh bằng Schur
$\sum \frac{x}{y+z}.(b+c)\geq \frac{3\sum xy}{\sum x}$
Ta lại có
$(xy+yz+xz)^2\geq 3(x+y+z)xyz=3(x+y+z)$
Suy ra ĐPCM