Chủ đề này có 2 trả lời

[chaugaihoangtuxubatu]

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn : $a+b+c=\frac{3}{2}$
Cmr : $(1+\frac{1}{a^3})(1+\frac{1}{b^3})(1+\frac{1}{c^3})\geq 729$

[Sagittarius912]

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn : $a+b+c=\frac{3}{2}$
Cmr : $(1+\frac{1}{a^3})(1+\frac{1}{b^3})(1+\frac{1}{c^3})\geq 729$

sử dụng bdt Holder ta có:
$(1+\frac{1}{a^{3}})(1+\frac{1}{b^{3}})(1+\frac{1}{c^{3}})\geq (1+\frac{1}{abc})^{3}$ (1)
mặt khác theo AM-GM ta có:
$abc\leq (\frac{a+b+c}{3})^{3}\Rightarrow \frac{1}{abc}\geq 8$ (2)
từ (1)(2) ta có dpcm
dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$

[nthoangcute]

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn : $a+b+c=\frac{3}{2}$
Cmr : $(1+\frac{1}{a^3})(1+\frac{1}{b^3})(1+\frac{1}{c^3})\geq 729$

Bổ đề: AM-GM:
$a_1+a_2+...+a_n \geq n\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$ với $a_i \geq 0$

Chứng minh: Quên rồi, dùng gì nhỉ ???

Áp dụng AM-GM ta có:
$1+\frac{1}{a^3}=1+\frac{1}{8a^3}+\frac{1}{8a^3}+\frac{1}{8a^3}+...+\frac{1}{8a^3} \geq 9\frac{1}{\sqrt[9]{8^8a^{24}}}$

CMTT ta được
$$(1+\frac{1}{a^3})(1+\frac{1}{b^3})(1+\frac{1}{c^3}) \geq \frac{9^3}{\sqrt[9]{8^{24}a^{24}b^{24}c^{24}}}$$

Tại áp dụng AM-GM ta được $abc \leq \frac{1}{8}$
Từ đó ta được Q.E.D