Bài toán 1.
Ch0 $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{z+x}+\frac{z+x}{x+y}\geq \frac{x+y+2z}{x+2y+z}+\frac{2x+3y+3z}{x+y+2z}$$
[Đề thi OLP 30-4 THPT Hùng Vương]
Bài toán 2.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{a^2+ab+bc}+\frac{b}{b^2+bc+ca}+\frac{c}{c^2+ca+ab}\geq \frac{9(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^3}$$
[Đề thi OLP 30-4 THPT Trần Hưng Đạo]
Mình xin giải bài toán 1:
Đặt $a = x + y$ $,$ $b = y + z$ $,$ $c = z + x$
BĐT $\Leftrightarrow$ $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{b+c}{a+b}+\frac{a+2b+c}{b+c}$
$\Leftrightarrow$ $\frac{a(a+b)(b+c)}{b}+\frac{b(a+b)(b+c)}{c}+\frac{c(a+b)(b+c)}{a}\geq (a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(a+b)(b+c)$
$\Leftrightarrow$ $\frac{a^{2}c}{b}+\frac{b^{2}(a+b)}{c}+\frac{cb(b+c)}{a}\geq 2b^{2}+2bc+ab$
Ta có VT $=$ $\frac{1}{2}(\frac{a^{2}c}{b}+\frac{b^{3}}{c})+\frac{1}{2}(\frac{a^{2}c}{b}+\frac{bc^{2}}{a})+\frac{1}{2}(\frac{c^{2}b}{a}+\frac{b^{3}}{c})+b^{2}(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})$
$\geq ab+\sqrt{ac^{3}}+\sqrt{\frac{b^{4}c}{a}}+2b^{2}\geq ab+2bc+2b^{2}$
$\Rightarrow$ $Q.E.D$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 04-12-2012 - 18:28