Cho $\Delta ABC$. Tìm min của $sinA+sinB+sinC+\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC}$
Tìm min của $sinA+sinB+sinC+\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC}$
Bắt đầu bởi chaugaihoangtuxubatu, 05-12-2012 - 17:33
#1
Đã gửi 05-12-2012 - 17:33
chaugaihoangtuxubatu
-
- Thành viên
-
- 196 Bài viết
Trung sĩ
Tự hào là thành viên VMF !
#2
Đã gửi 05-12-2012 - 17:50
Sagittarius912
-
- Thành viên
-
- 776 Bài viết
Trung úy
Ta cóCho $\Delta ABC$. Tìm min của $sinA+sinB+sinC+\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC}$
$P=sinA+sinB+sinC+\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC}= sinA+\frac{3}{4sinA}sinB+\frac{3}{4sinB}+sinC+\frac{3}{4sinC}+\frac{1}{4}(\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC})\geq 3\sqrt{3}+\frac{9}{sinA+sinB+sinC}$
Đến đây ta áp dụng 1 bổ đề quen thuộc:
$sinA+sinB+sinC\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Do đó
$P\geq 3\sqrt{3}+\frac{1}{4}.\frac{9}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}= \frac{7}{2}\sqrt{3}$
Vậyn min $P=\frac{7}{2}\sqrt{3}$. Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều
- chaugaihoangtuxubatu yêu thích
#3
Đã gửi 05-12-2012 - 17:55
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Áp dụng AM-GM ta có
$sinA+sinB+sinC\geq 3\sqrt[3]{sinAsinBsinC}$
$\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{sinAsinBsinC}}$
Đặt $t=\sqrt[3]{sinAsinBsinC}$
$\Rightarrow 0< t=\sqrt[3]{sinAsinBsinC}\leq \frac{\sqrt{3}}{2}$
Ta có VP=$3t+\frac{3}{t}= 3(t+\frac{1}{t})=3(t+\frac{3}{4t}+\frac{1}{4t})\geq 3(\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{6})$
Dấu = xảy ta khi tam giác đã cho đều ?
$sinA+sinB+sinC\geq 3\sqrt[3]{sinAsinBsinC}$
$\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{sinAsinBsinC}}$
Đặt $t=\sqrt[3]{sinAsinBsinC}$
$\Rightarrow 0< t=\sqrt[3]{sinAsinBsinC}\leq \frac{\sqrt{3}}{2}$
Ta có VP=$3t+\frac{3}{t}= 3(t+\frac{1}{t})=3(t+\frac{3}{4t}+\frac{1}{4t})\geq 3(\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{6})$
Dấu = xảy ta khi tam giác đã cho đều ?
- chaugaihoangtuxubatu yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
