Chủ đề này có 1 trả lời

[Dung Dang Do]

Cho $a,b,c,d>0$. CMR
$$\frac{\sqrt{a^6+b^6+c^6+d^6}}{a^2b^2c^2d^2}\ge\frac{32}{(cd\sqrt{b}+da\sqrt{c}+ab\sqrt{d}+bc\sqrt{a})^2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Dang Do: 05-12-2012 - 22:01

[Dung Dang Do]

Xuất phát từ BĐT
$$a^3+b^3+c^3+d^3\ge a^2b+b^2c+c^2d+d^2a$$
Lại có $$a^3+b^3+c^3+d^3\le 2\sqrt{a^6+b^6+c^6+d^6}$$
$a^2b+b^2c+c^2d+d^2a\ge \frac{1}{4}(a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{d}+d\sqrt{a})^2$
Suy ra $8\sqrt{a^6+b^6+c^6+d^6}\ge(a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{d}+d\sqrt{a})^2$
Chia cả hai vế cho $a^2b^2c^2d^2$ ta có
$$\frac{8\sqrt{a^6+b^6+c^6+d^6}}{a^2b^2c^2d^2}\ge (\frac{1}{cd\sqrt{b}}+\frac{1}{ad\sqrt{c}}+\frac{1}{ab\sqrt{d}}+\frac{1}{bc\sqrt{a}})^2 \ge \frac{16^2}{(cd\sqrt{b}+da\sqrt{c}+ab\sqrt{d}+bc\sqrt{a})^2}$$
Chia cho 8 ta có điểu phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $$a=b=c=d$$
__________________
@BlackSelena: hàng tự chế hả cậu ?
Uhm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Dang Do: 12-12-2012 - 14:50