Chủ đề này có 1 trả lời

[tim1nuathatlac]

2 bài bdt hay dành cho các bạn hs lớp 8.

Bài toán 1: Cho $x,y$ là 2 số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức sau: $\frac{1}{\left ( 1+x \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( 1+y \right )^{2}}\geq \frac{1}{xy+1}$

Bài toán 2: Cho 2 số dương $a,b$. Chứng minh $\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+ab^{2}\geq \sqrt{3\left ( 1+a^{2}+b^{2} \right )}$

[zxc00]

Bài toán 2:
$\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+ab^{2}\geq \sqrt{3\left ( 1+a^{2}+b^{2} \right )}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+a(\frac{1}{b}+b^{2})\geqslant \sqrt{3(1+a^{2}+b^{2})} Bình phương 2 vế: \frac{1}{a^{2}}+a^{2}(b^{4}+2b-3+\frac{1}{b^{2}})\geqslant b^{2}+3-\frac{2}{b} Mặt khác : b^{4}+2b-3+\frac{1}{b^{2}}> 2b-3+\frac{1}{b^{2}}\geq 0 nên áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số ko âm: \frac{1}{a^{2}}+a^{2}(b^{4}+2b-3+\frac{1}{b^{2}})\geq 2\sqrt{b^{4}+2b-3+\frac{1}{b^{2}}}$$Bài toán quy về chứng minh 2\sqrt{b^{4}+2b-3+\frac{1}{b^{2}}}\geq b^{2}+3-\frac{2}{b} \Rightarrow4(b^{4}+2b-3+\frac{1}{b^{2}}) \geq (b^{2}+3-\frac{2}{b})^{2} \Leftrightarrow b(b^{2}-1)^{2}+4(b-1)^{2}\geq 0 (luôn đúng)
Dâu = xảy ra \Leftrightarrow a=b=1$