Chủ đề này có 7 trả lời

[phongbp]

Bài 1: Cho $a,b,c > 0$ và $ a+b+c=3$ Chứng minh rằng : $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \geqslant ab+bc+ca$
Bài 2: Cho $x,y,z >0$ và $xyz=1$. Tìm Min A: $A=\left ( \frac{x+1}{2} \right )^3 + \left ( \frac{y+1}{2} \right )^3 +\left ( \frac{z+1}{2} \right )^3 $

[tramyvodoi]

Mình xin giải bài 1:
Ta có $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$
$\Leftrightarrow$ $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 2(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow$ $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq (a+b+c)^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
$\Leftrightarrow$ $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 9$
Áp dụng bđt $AM - GM$ :
$a^{2}+2\sqrt{a}=a^{2}+\sqrt{a}+\sqrt{a}\geq 3a$
Làm tương tự 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng theo vế ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 08-12-2012 - 14:19

[BlackSelena]

Bài 2 làm thế này k biết có sao ko ta @@!, theo bđt $AM-GM$
$A = (\frac{x+1}{2})^3 + (\frac{y+1}{2})^3 + (\frac{z+1}{2})^3 \ge 3\frac{(x+1)(y+1)(z+1)}{8} \ge \frac{3.8.\sqrt{xyz}}{8} = 3$
Vậy $A_{min} = 3$, đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 07-12-2012 - 23:06

[tramyvodoi]

Tổng quát hơn, ta có bài toán :
Cho $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $>$ $0$ thỏa $xyz$ $=$ $m$. Tìm $\min$ :
$\sum (\frac{x+1}{2})^{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 11-12-2012 - 20:30

[IloveMaths]

2.ap dung AM-GM
$A=\frac{(x+1)^3+(y+1)^3+(z+1)^3}{8}\geqslant \frac{3}{8}.(x+1)(y+1)(z+1)\geqslant \frac{3}{8}.2\sqrt{x}.2\sqrt{y}.2\sqrt{z}=3$

[Tienanh tx]

Bài 2: Cho $x,y,z >0$ và $xyz=1$. Tìm Min A: $A=\left ( \frac{x+1}{2} \right )^3 + \left ( \frac{y+1}{2} \right )^3 +\left ( \frac{z+1}{2} \right )^3 $

$Solution:$

$\oplus$ Ta có:$ \left ( \frac{x+1}{2} \right )^3 + \left ( \frac{y+1}{2} \right )^3 +\left ( \frac{z+1}{2} \right )^3 \geqslant \left ( \frac{2\sqrt{x}}{2} \right )^3 + \left ( \frac{2\sqrt{y}}{2} \right )^3 +\left ( \frac{2\sqrt{z}}{2} \right )^3 \geqslant (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3 +(\sqrt{z})^3\geqslant 3\sqrt[3]{(\sqrt{xyz})^3} = 3$

[Sagittarius912]

Tổng quát hơn, ta có bài toán :
Cho x,y,z>0 thỏa xyz=m. Tìm min
$\sum (\frac{x+1}{2})^{3}$

áp dụng bdt Holder ta có
$\sum(\frac{x+1}{2})^{3}(1+1+1)(1+1+1)\geq (\sum \frac{1+x}{2})^{3}$
áp dụng AM-GM
$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}= 3\sqrt[3]{m}$
$\Rightarrow VT\geq \frac{(\frac{3\sqrt[3]{m}+3}{2})^{3}}{9}= \frac{3}{8}(\sqrt[3]{m}+1)$
dấu = khi x=y=z

p/s: có thể nâng số mũ của VT lên thêm nữa

[Tienanh tx]

Bài toán: Cho $a,b,c > 0$ thỏa $a+b+c = 3$. Chứng minh rằng: $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \ge ab+bc+ca$ $(1)$
s
$Solution:$

Cách tiếp theo:

$\oplus$ Ta có: $(1)$ $\Longleftrightarrow$ $a^2 +b^2 + c^2 + 2\sqrt{a} + 2\sqrt{b} + 2\sqrt{c} \ge a^2 +b^2 + c^2 + 2ab+2bc+2ca$
$\Longleftrightarrow$ $a^2 +b^2 + c^2 + 2\sqrt{a} + 2\sqrt{b} + 2\sqrt{c} \ge (a+b+c)^2$
$\Longleftrightarrow$ $a^2 +b^2 + c^2 + 2\sqrt{a} + 2\sqrt{b} + 2\sqrt{c} \ge 9$ $(*)$
$\oplus$ Mặt khác áp dụng BĐT $AM-GM$, ta có: $a^2 + 2\sqrt a = a^2+ \sqrt a+ \sqrt a \ge 3\sqrt[3]{{a^2 .\sqrt a .\sqrt a }} = 3\sqrt[3]{{a^3 }} = 3a$
$\oplus$ Chứng minh tương tự, ta được: $b^2 + 2\sqrt b \ge 3b$ và $c^2 + 2\sqrt c \ge 3c$
$\oplus$ Công các kết quả mới tìm được ta được $a^2 +b^2 + c^2 + 2\sqrt{a} + 2\sqrt{b} + 2\sqrt{c} \ge 9$ (Quá đúng)
$\Longrightarrow$ $(*)$ Đúng
$\Longrightarrow$ $Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienanh1999bp: 24-01-2013 - 20:40