Chủ đề này có 1 trả lời

[Oral1020]

Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với môi số thực $a,b,c$:
$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a} \le \dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 10-12-2012 - 12:08

[no matter what]

Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với môi số thực $a,b,c$:
$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a} \le \dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

\
Xem ra cũng không hợp với THCS lắm
Giải:
Nhân 2 vế với a+b+c
BĐT tuơng đương với
$2(a^2+c^2+b^2)+\frac{c(a^2+b^2)}{a+b}+\frac{a(b^2+c^2)}{b+c}+\frac{b(c^2+a^2)}{c+a}\leq 3(a^2+b^2+c^2)$
hay $\frac{c(a^2+b^2)}{a+b}+\frac{a(b^2+c^2)}{b+c}+\frac{b(c^2+a^2)}{c+a}\leq (a^2+b^2+c^2)$
hay $\frac{c(a+b)^2-2abc}{a+b}+\frac{a(b+c)^2-2abc}{b+c}+\frac{b(c+a)^2-2abc}{c+a}\leq (a^2+b^2+c^2)$
Hay $a^2+b^2+c^2+2abc(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 2(ab+bc+ca)$
BĐT cuối đúng theo schur dạng phân thức . hết