Chủ đề này có 5 trả lời

[25 minutes]

Cho $x , y , z \geq 0,x^2+y^2+z^2=2$
Chứng minh rằng : $x + y + z \leq 2+xyz$
P/S : Chúc thành công ! ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 10-12-2012 - 17:54

[Mrnhan]

Cho $x,y,z\geq 0,x^2+y^2+z^2=2$
Chứng minh rằng : $x+y+z\leq 2+xyz$
P/S : Chúc thành công ! ?

giải:
không mất tính tổng quát, giả sử $a=min(a,b,c)\Rightarrow 0\leq a\leq \sqrt{\frac{2}{3}}$
xét đường thẳng $f(a)=a(bc-1)+2-b-c, a\epsilon [0;\sqrt{\frac{2}{3}}]$
BĐT đúng khi và chỉ khi $minf(a)\geq 0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(0)=2-b-c\geq 0\\f(\sqrt{\frac{2}{3}})=\sqrt{\frac{2}{3}}(bc-1)+2-b-c\geq 0\end{matrix}\right.$
ta có $2=a^2+b^2+c^2\geq b^2+c^2\geq \frac{1}{2}(b+c)^2\Rightarrow 2-b-c\geq 0$
khi $a=\sqrt{\frac{2}{3}}$ thay vào thấy luôn đúng!
BĐT được chứng minh
đẳng thức xảy khi và chỉ khi $a=0, b=c=1$ và các hoán vị.
P/s: chúc bạn thành công.!!

[tieutuhamchoi98]

Cho $x , y , z \geq 0,x^2+y^2+z^2=2$
Chứng minh rằng : $x + y + z \leq 2+xyz$
P/S : Chúc thành công ! ?

Hay hơn cách trên này!
$\Leftrightarrow x(1-yz) + (y + z) \leq 2$
Áp dụng Bunhiakovski ta có:
$(x(1-yz)+(y+z))^{2}\leq (x^{2}+(y+z)^{2})((1-yz)^{2}+1)$
$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}+z^{2}+2yz)((yz)^{2}-2yz+2)\leq 4$
Khai triển được:
$(yz)^{3}-(yz)^{2}\leq 0$
Mặt khác dễ thấy yz $\leq$1
Vậy ta có dpcm

[banhgaongonngon]

Cho $x , y , z \geq 0,x^2+y^2+z^2=2$
Chứng minh rằng : $x + y + z \leq 2+xyz$
P/S : Chúc thành công ! ?

Bài này có trong sách chuyên toán 10 mà

Hay hơn cách trên này!
$\Leftrightarrow x(1-yz) + (y + z) \leq 2$
Áp dụng Bunhiakovski ta có:
$(x(1-yz)+(y+z))^{2}\leq (x^{2}+(y+z)^{2})((1-yz)^{2}+1)$
$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}+z^{2}+2yz)((yz)^{2}-2yz+2)\leq 4$
Khai triển được:
$(yz)^{3}-(yz)^{2}\leq 0$
Mặt khác dễ thấy yz $\leq$1
Vậy ta có dpcm

Cách bạn làm cũng giống trong sách ha

[tieutuhamchoi98]

Bài này có trong sách chuyên toán 10 mà


Cách bạn làm cũng giống trong sách ha

Ơ, sách chuyên toán j thế? Tên là j? Bài này tong để thi khoả sát HSg Vĩnh Tuong - Vp năm trước!

[banhgaongonngon]

Ơ, sách chuyên toán j thế? Tên là j? Bài này tong để thi khoả sát HSg Vĩnh Tuong - Vp năm trước!

IMO - Poland đề nghị (Sách ghi thế). Sách tài liệu chuyên toán Đại số 10 ấy bạn