Chủ đề này có 1 trả lời

[duaconcuachua98]

Cho x,y,z thoả mãn $3^{-x}+3^{-y}+3^{-z}=1$.CMR
$\frac{9^{x}}{3^{x}+3^{y+z}}+\frac{9^{y}}{3^{y}+3^{x+z}}+\frac{9^{z}}{3^{z}+3^{x+y}}\geq \frac{3^{x}+3^{y}+3^{z}}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 21-12-2012 - 20:34

[maitienluat]

Đặt $3^{-x}=a$,$3^{-y}=b$,$3^{-z}=c$$\Rightarrow \sum a=1$.
BĐT đã cho tương đương với $\sum \frac{bc}{abc+a^{2}}\geq \frac{1}{4}\sum \frac{1}{a}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a}-\sum \frac{1}{bc+a}\geq \frac{1}{4}\sum \frac{1}{a}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{4}{(a+b)(a+c)}\leq \sum \frac{3}{a}$ (do a+b+c=1)
$\Leftrightarrow \frac{8}{\prod (a+b)}\leq \frac{3\sum ab}{abc}$ (do a+b+c=1) (*)
Đặt p=a+b+c=1,q=ab+bc+ca,r=abc,ta có $q= pq\geq 9r$ và $q^{2}\geq 3pr= 3r$
(*)$\Leftrightarrow 8r\leq 3q(pq-r)=3q^{2}-3qr$
$\Leftrightarrow \frac{q}{3}(q-9r)+\frac{8}{3}(q^{2}-3r)\geq 0$ (đúng)
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 21-12-2012 - 22:13