Chủ đề này có 4 trả lời

[Khanh 6c Hoang Liet]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau : $2x^{6} + y^{2} - 2x^{3}y = 320$.

[tramyvodoi]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau : $2x^{6} + y^{2} - 2x^{3}y = 320$.

Viết phương trình đã cho dưới dạng : $\left ( x^{3} \right )^{2} + \left ( x^{3} - y \right )^{2} = 320$.
Đặt $u = x^{3}$ $,$ $v = x^{3} - y$. Ta có : $u^{2} + v^{2} = 320$. Do $320$ là số chẵn nên $u$ và $v$ có cùng tính chẵn lẻ. Giả sử $u$ $,$ $v$ cùng lẻ, thế thì $u^{2} \equiv 1 \left ( \mod {4} \right )$ và $v^{2} \equiv 1 \left ( \mod {4} \right )$ $\Rightarrow$ $u^{2} + v^{2} \equiv 2 \left ( \mod {4} \right )$ $\Rightarrow$ $u^{2} + v^{2} \neq 320$, vô lý. Vậy $u$ và $v$ cùng chẵn.
Đặt $u = 2u_{1}$ $,$ $v = 2v_{1}$, thay vào ta được $u_{1}^{2} + v_{1}^{2} = 80$. Lập luận tương tự, ta lại có $u_{1}$ và $v_{1}$ cùng chẵn. Tiếp tục, lại đặt $u_{1} = 2u_{2}$ $,$ $v_{1} = 2v_{2}$, và lại suy ra $u_{2}$ và $v_{2}$ cung chẵn $\left ( u_{2}^{2} + v_{2}^{2} = 20 \right )$.
Đặt $u_{2} = 2u_{3}$ $,$ $v_{2} = 2v_{3}$, ta lại được $u_{3}^{2} + v_{3}^{2} = 5$. Do $u$ là lập phương của một số nguyên và $u = 2^{3}u_{3}$, nên suy ra $u_{3}$ cũng là lập phương của một số nguyên. Từ đó các cặp $u_{3}$ $,$ $v_{3}$ thỏa mãn phương trình trên là : $\left ( 1, 2 \right ) ; \left ( -1, 2 \right ) ; \left ( 1, -2 \right ) ; \left ( -1, -2 \right )$.
Vậy dễ dàng tìm được các nghiệm $\left ( x, y \right )$ của phương trình đã cho là : $\left ( 2, -8 \right ) ; \left ( 2, 24 \right ) ; \left ( -2, -24 \right ) ; \left ( -2, 8 \right )$.

[duaconcuachua98]

Viết phương trình đã cho dưới dạng : $\left ( x^{3} \right )^{2} + \left ( x^{3} - y \right )^{2} = 320$.
Đặt $u = x^{3}$ $,$ $v = x^{3} - y$. Ta có : $u^{2} + v^{2} = 320$. Do $320$ là số chẵn nên $u$ và $v$ có cùng tính chẵn lẻ. Giả sử $u$ $,$ $v$ cùng lẻ, thế thì $u^{2} \equiv 1 \left ( \mod {4} \right )$ và $v^{2} \equiv 1 \left ( \mod {4} \right )$ $\Rightarrow$ $u^{2} + v^{2} \equiv 2 \left ( \mod {4} \right )$ $\Rightarrow$ $u^{2} + v^{2} \neq 320$, vô lý. Vậy $u$ và $v$ cùng chẵn.
Đặt $u = 2u_{1}$ $,$ $v = 2v_{1}$, thay vào ta được $u_{1}^{2} + v_{1}^{2} = 80$. Lập luận tương tự, ta lại có $u_{1}$ và $v_{1}$ cùng chẵn. Tiếp tục, lại đặt $u_{1} = 2u_{2}$ $,$ $v_{1} = 2v_{2}$, và lại suy ra $u_{2}$ và $v_{2}$ cung chẵn $\left ( u_{2}^{2} + v_{2}^{2} = 20 \right )$.
Đặt $u_{2} = 2u_{3}$ $,$ $v_{2} = 2v_{3}$, ta lại được $u_{3}^{2} + v_{3}^{2} = 5$. Do $u$ là lập phương của một số nguyên và $u = 2^{3}u_{3}$, nên suy ra $u_{3}$ cũng là lập phương của một số nguyên. Từ đó các cặp $u_{3}$ $,$ $v_{3}$ thỏa mãn phương trình trên là : $\left ( 1, 2 \right ) ; \left ( -1, 2 \right ) ; \left ( 1, -2 \right ) ; \left ( -1, -2 \right )$.
Vậy dễ dàng tìm được các nghiệm $\left ( x, y \right )$ của phương trình đã cho là : $\left ( 2, -8 \right ) ; \left ( 2, 24 \right ) ; \left ( -2, -24 \right ) ; \left ( -2, 8 \right )$.

Bạn làm hơi dài!
Ta thấy 320 là tổng của 2 số chính phương nên chỉ có các trường hợp là $320=16^{2}+8^{2}$
mà $x^{3}$ là lập phương của 1 số nguyên nên $x^{3}=8$
$\Rightarrow x=\pm 2$, thay từng trường hợp vào pt đã cho ta tìm được y.
__________________________________________________________________
Bạn làm kĩ hơn một chút để bạn Nguyen Viet Khanh 6c hiểu chứ, vì bạn ấy mới lớp 6 mà !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 12-12-2012 - 21:04

[duaconcuachua98]

OK!mình hơi sơ ý!
Ta có pt đã cho tương đương với $(x^{3})^{2}+(x^{3}-y)^{2}=320$
Vì x,y nguyên nên 320 là tổng của 2 số chính phương
Mà 320 viết thành tổng của 2 số chính phương chỉ có trường hợp là $320=16^{2}+8^{2}$
Mà $x^{3}$ là lập phương của 1 số nguyên nên $x^{3}$=8, suy ra x=2 hoặc x=-2
+)Với x=2 ta có: $64+(8-y)^{2}=320$, suy ra y=24 hoặc y=-8
+)Với x=-2 ta có: $64+(-8-y)^{2}=320$, suy ra y=8 hoặc y=-24.

[DarkBlood]

OK!mình hơi sơ ý!
Ta có pt đã cho tương đương với $(x^{3})^{2}+(x^{3}-y)^{2}=320$
Vì x,y nguyên nên 320 là tổng của 2 số chính phương
Mà 320 viết thành tổng của 2 số chính phương chỉ có trường hợp là $320=16^{2}+8^{2}$
Mà $x^{3}$ là lập phương của 1 số nguyên nên $x^{3}$=8, suy ra x=2 hoặc x=-2
+)Với x=2 ta có: $64+(8-y)^{2}=320$, suy ra y=24 hoặc y=-8
+)Với x=-2 ta có: $64+(-8-y)^{2}=320$, suy ra y=8 hoặc y=-24.

Ở đây bạn còn thiếu $320=16^2+(-8)^2$ để suy ra rằng $x^3=-8,$ từ đó được $x=-2,$ chứ nếu làm như bạn thì chỉ có được trường hợp $x^3=8,$ không thể suy ra được rằng $x=-2$ vì $(-2)^3\neq 8.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 12-12-2012 - 21:27