Bài toán 1 .
Ch0 $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác nhọn. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{\frac{b+c-a}{a}}+\sqrt{\frac{a+c-b}{b}}+\sqrt{\frac{a+b-c}{c}}\geq 3$$
Bận học lí bây giờ mới có thời gian làm bài của Đạt.
Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt $\left ( x,y,z \right ) \rightarrow \left ( a+b-c,b+c-a,c+a-b \right )$
$\Rightarrow Q.e.D\Leftrightarrow \sum \sqrt{\frac{2x}{y+z}}\geq 3$
Như vậy ta phải chỉ ra $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}$ vs $x,y,z> 0$
---------------------------------------------------------------------------------------------
p/s: ta còn có bài toán tổng quát cho bất đẳng thức trên.
Cho $a,b,c>0$ và $k \ge \frac{2}{3}$. Chứng minh rằng:
\[{\left( {\frac{a}{{b + c}}} \right)^k} + {\left( {\frac{b}{{c + a}}} \right)^k} + {\left( {\frac{c}{{a + b}}} \right)^k} \ge \frac{3}{{{2^k}}}\]
Ta có bất đẳng thức sau, chứng minh = quy nạp
$\frac{a^{m}+b^{m}}{2}\geq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{m}$
$\Rightarrow\frac{2^{k}}{(a+b)^{k}}\geq \frac{2}{a^{k}+b^{k}}$$\Rightarrow\sum \frac{a^{k}}{\left ( c+b \right )^{k}}\geq \sum \frac{a^{k}}{2^{k-1}\left ( c^{k} +b^{k}\right )}\geq \frac{1}{2^{k-1}} \left ( \sum \frac{a^{k}}{b^{k}+c^{k}} \right )\geq \frac{1}{2^{k-1}}\times \frac{3}{2}= \frac{3}{2^{k}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 16-12-2012 - 05:06