Chủ đề này có 1 trả lời

[phamvanha92]

Cho các số tự nhiên $a_{1}$ $,$ $a_{2}$ $,$ $a_{3}$ $,$ $...$ thỏa mãn : $\left ( a_{i}, a_{j} \right ) = \left ( i, j \right )$, $\forall$$i$ $,$ $j$. Chứng minh rằng : $a_{i} = i$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 16-12-2012 - 14:00

[nguyenta98]

Cho các số tự nhiên $a_{1}$ $,$ $a_{2}$ $,$ $a_{3}$ $,$ $...$ thỏa mãn : $\left ( a_{i}, a_{j} \right ) = \left ( i, j \right )$, $\forall$$i$ $,$ $j$. Chứng minh rằng : $a_{i} = i$.

Giải như sau:
Ta xét $(a_{mk},a_m)=(mk,m)=m$ suy ra $a_m \vdots m$
Như vậy với mọi $m$ với $m=1,2,3,...$ ta đều có $a_m \vdots m$ và $a_{mk} \vdots m$ với $k=1,2,...$
Ta có $(a_m,a_n)=(m,n)$ với $n=1,2,3,....$ rõ ràng ta thấy $a_m=m$ vì nếu $a_m>m$ kết hợp $a_m \vdots m$ suy ra $a_m=mt$ với $t>1$ khi ấy suy ra $(a_m,a_n)=(mt,a_n)=(m,n)$
Chọn $n=t$ khi ấy $(mt,t)=t \Rightarrow (m,n)=(m,t)=t \Rightarrow t|m$ khi ấy tồn tại $d$ là ước của $m$ sao cho $m=dx$ và $d \vdots t$ với $gcd(x,t)=1$
Như vậy chọn $n=dy$ với $gcd(d,y)>1$ hay $gcd(d,y) \vdots t$ và $gcd(y,x)=1$ và do ta đã cm với mọi $m$ thì $a_m \vdots m$ khi đó $m=n$ thì $a_n \vdots n$ nên $a_n=nk$
Suy ra $(a_m,a_n)=(mt,nk)=(dxt,dyk)=d.(xt,yk)$ mà $gcd(d,y) \vdots t$ suy ra $y \vdots t$ do đó $d.(xt,yk) \vdots dt$
Mặt khác $(a_m,a_n)=(m,n) \Rightarrow (m,n) \vdots dt \Rightarrow d \vdots dt \Rightarrow t=1$ (do $m=dx,n=dy$ và $gcd(x,y)=1$ do cách chọn của ta) suy ra $a_m=m$ do đó ta cm xong với mọi $m=1,2,...,$ ta đều có $a_m=m$ hay đây là $đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 16-12-2012 - 16:53