Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho $L_1=2, L_2=1$ và $L_{n+2}=L_{n+1}+L_n$ với $n\ge 1$ thỏa mãn dãy Lucas. Chứng minh rằng $\prod \limits_{k=1}^m L_{2^k+1}=F_{2^m+1}$ với $\{F_n\}_n$ là dãy Fibonacci.

[phudinhgioihan]

Cho $L_1=2, L_2=1$ và $L_{n+2}=L_{n+1}+L_n$ với $n\ge 1$ thỏa mãn dãy Lucas. Chứng minh rằng $\prod \limits_{k=1}^m L_{2^k+1}=F_{2^m+1}$ với $\{F_n\}_n$ là dãy Fibonacci.

Cần chú ý vấn đề này nha Kiên. Mặc dù dãy Fibonaci ai cũng biết , tuy nhiên, có thể định nghĩa nó bắt đầu từ $F_0$ hoặc $F_1$ hoặc bắt đầu từ $F_k$ nào đó chẳng hạn..về bản chất thì cách định nghĩa đó không ảnh hưởng gì....nhưng...nếu thay vào một công thức nào đó thì phải định nghĩa chính xác, số bắt đầu dãy Fibonaci lấy từ chỉ số nào.

Đề bài trên sai rồi nhé, chắc do đánh máy nhầm.

Dãy Fibonaci định nghĩa bởi

$\begin{cases} F_1=F_2=1 \\ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n \; \forall n \ge 1 \end{cases} $

Khi đó, ta có đẳng thức $\prod_{k=1}^m L_{2^k+1}=F_{2^{m+1}} \;\; , m \in \mathbb{N}^* $


P/s: Thường dãy Lucas định nghĩa từ chỉ số 0, tức $L_0=2;\;L_1=1 \;;, L_{n+2}=L_{n+1}+L_n \;\; \forall n \in \mathbb{N}^*$

Nguyên nhân định nghĩa từ chỉ số 0 là để các công thức liên hệ với dãy Fibonaci được đẹp đẽ hơn.

Cụ thể

$L_n=F_{k+2}L_{n-k}+F_{k+1}L_{n-k-1} \; , \forall k<n $

$F_{2n}=L_nF_n$

$L_n^2=5F_n^2+4(-1)^n$

...
_____
Em dịch từ tiếng anh qua Tiếng Việt nên chả biết đúng không

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 17-12-2012 - 22:05