Chủ đề này có 1 trả lời

[tramyvodoi]

Cho $\mathrm{A , B , C}$ là $3$ góc của một tam giác. Chứng minh rằng :
$\frac{1}{2 - \cos \mathrm{A}} + \frac{1}{2 - \cos \mathrm{B}} + \frac{1}{2 -\cos \mathrm{C}} \geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 19-12-2012 - 21:48

[duongvanhehe]

Giả sử $C=min{A,B,C}$
Ta sẽ chứng minh: $\frac{1}{2-cosA}+\frac{1}{2-cosB}\geq \frac{2}{2-cos\frac{A+B}{2}}$
$\Leftrightarrow (4-cosA-cosB+cosAcosB)(2-cos\frac{A+B}{2})\geq 2(2-cosA)(2-cosB)$
$cos\frac{A+B}{2}(cosA+cosB)-2cosAcosB+2(cosA+cosB)-4cos\frac{A+B}{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow 2cos^2\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}-(cos(A+B)+cos(A-B))+4cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}-4cos\frac{A+B}{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow 2cos^2\frac{A+B}{2}cos\frac{A-b}{2}-2cos^2\frac{A+B}{2}+2(1-cos^2\frac{A-B}{2})-4cos\frac{A+B}{2}+4cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow 2(1-cos\frac{A-B}{2})(1+cos\frac{A-B}{2}-2cos\frac{A+B}{2}-cos^2\frac{A+B}{2})\geq 0$
Điều này đúng do:
$\frac{\pi}{3}\leq \frac{A+B}{2}\leq \frac{\pi}{2}\Rightarrow 1-2cos\frac{A+B}{2}\geq 0$
$cos\frac{A-B}{2}\geq cos\frac{A+B}{2}\geq cos^2\frac{A+B}{2}$
Giờ ta chỉ cần chứng minh được: $\frac{2}{2-cos\frac{A+B}{2}}+\frac{1}{2-cosC}\geq 2$
$\Leftrightarrow sin\frac{C}{2}(2sin\frac{C}{2}-1)^2\geq 0$
(Luôn đúng )
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều...