Bài 163 : Tìm tất cả các số tự nhiên lẻ $n$ sao cho $$n^{11}+199$$ là một số chính phương
Bổ đề 1: Cho các số nguyên dương $x,y$ và số nguyên tố $p$ có dạng $4k + 3$ thỏa mãn $p|(x^{2}+y^{2})$. Khi đó $p|x$ và $p|y$
Bổ đề 2 : Cho các số nguyên dương $x,y$ thỏa $gcd(x,y)=1$, khi đó mọi ước nguyên tố của $x^{2}+y^{2}$ không có dạng $4k+3$.
Lời giải :
Đặt $n^{11}+199=m^{2}$ , $m\in \mathbb{N}$
Vì $n$ lẻ nên $n\equiv 1;3(mod4)$
Nếu $n\equiv 3(mod4)\Rightarrow m^{2}\equiv 3^{11}+199\equiv 2(mod4)$ (vô lí)
Do đó $n\equiv 1(mod4)$
Ta có :
$n^{11}+199=m^{2}\Leftrightarrow n^{11}+2^{11}=m^{2}+43^{2}\Leftrightarrow (n+2)(n^{10}-n^{9}.2+...-n.2^{9}+2^{10})=m^{2}+43^{2}\Leftrightarrow (n+2).b=m^{2}+43^{2}\qquad(*)$
Vì $n\equiv 1(mod4)\Rightarrow b=n^{10}-n^{9}.2+...-n.2^{9}+2^{10}\equiv 3(mod4)\Rightarrow$ $b$ có ít nhất một ước nguyên tố $p\equiv 3(mod4)$.
Theo bổ đề 1 thì $b|(a^{2}+43^{2})\Rightarrow p|(a^{2}+43^{2})\Rightarrow p|43\Rightarrow p=43\Rightarrow 43|b$
Nếu $43|(n+2)\Rightarrow n\equiv -2(mod43)\Rightarrow b=n^{10}-2n^{9}+4n^{8}-8n^{7}+16n^{6}-32n^{5}+64n^{4}-128n^{3}+256n^{2}-512n+1024\equiv 8(mod43)$.
Điều này là vô lí vì $43|b$. Suy ra $43\nmid(n+2)$.
Ta có $a^{2}+43^{2}=(n+2).b\vdots 43\Rightarrow a\vdots 43\Rightarrow (a^{2}+43^{2})\vdots 43^{2}\Rightarrow b(n+2) \vdots 43^{2}$. Vì $43\nmid(n+2)$ nên $b=43^{2}.m\qquad(m\in \mathbb{N},gcd(m,2)=1)$
Hơn nữa vì $a\vdots 43\Rightarrow a=43q\qquad(q\in \mathbb{N})$
Do đó $(n+2).b=a^{2}+43^{2}=43^{2}.(q^{2}+1)\Leftrightarrow (n+2).43^{2}.m=43^{2}(q^{2}+1)\Leftrightarrow q^{2}+1=m(n+2)$
Vì $gcd(1,q)=1$ nện theo bổ đề 2 thì $q^{2}+1$ không có ước nguyên tố nào có dạng $4k + 3$, nhưng $n+2\equiv 3(mod4)$ (vì $n\equiv 1(mod4)$)
Điều này mâu thuẫn.
Kết luận : Không tồn tại số $n$ thỏa mãn đề bài.