bài 91: giải phương trình nghiệm nguyên dương
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=7.4^{n} (1)$
Lời giải.
$\blacktriangleright$ Nếu $a,b,c,d$ đều lẻ thì $VT \equiv 4 \pmod{8}$. Do đó chỉ có thể $n=1$. Khi đó ta tìm được nghiệm $(a,b,c,d)=(3,3,3,1),(5,1,1,1)$ và các hoán vị.
Nếu $a,b,c,d$ đều chẵn thì đặt $a=2a_1,b=2b_1,c=2c_1,d=2d_1$ với $a_1,b_1,c_2,d_1 \in \mathbb{N}^*$. Khi đó $$(1) \Leftrightarrow a_1^2+b_1^2+c_1^2+d_1^2=7 \cdot 4^{n-1} \qquad (2)$$
Nếu $a_1,b_1,c_1,d_1$ lẻ thì ở $(2)$ ta có $VT \equiv 4 \pmod{8}$. Do đó $n=2$. Ta tìm được $(a_1,b_1,c_1,d_1)=(3,3,3,1),(5,1,1,1)$ và các hoán vị.
Còn nếu $a_1,b_1,c_1,d_1$ chẵn thì đặt $a_1=2a_2,b_1=2b_2,c_1=2c_2,d_1=2d_2$ với $a_2,b_2,c_2,d_2 \in \mathbb{N}^*$. Khi đó $$(2) \Leftrightarrow a_2^2+b_2^2+c_2^2+d_2^2=7 \cdot 4^{n-2}$$
$\blacktriangleright$ Lập luận, tương tự như trên, ta thấy $2^{k} \mid a, 2^k \mid b, 2^k \mid c, 2^k \mid d$ với $k \in \mathbb{N},k \le n$. Ta đặt $a=2^k \cdot a_i, \; b=2_k \cdot b_i, \; c=2^k \cdot c_i, \; d=2^k \cdot d_i$ với $a_i,b_i,c_i,d_i \in \mathbb{N}^*$ và $a_i,b_i,c_i,d_i$ có ước chung không chia hết cho $2$.
Do đó $$(1) \Leftrightarrow a_i^2+b_i^2+c_i^2+d_i^2=7 \cdot 4^{n-k} \qquad (3)$$
$\blacktriangleright$ Nếu $n-k \ge 2$ thì ta dễ dàng suy ra $a_i,b_i,c_i,d_i$ chẵn, mâu thuẫn với điều kiện đặt ra.
Vậy hoặc $n-k=0$ hoặc $n-k=1$.
Với $n-k=0$ thì $$(3) \Leftrightarrow a_i^2+b_i^2+c_i^2+d_i^2=7$$ Ta tìm được $(1,1,1,2)$.
Với $n-k=1$ thì $$(3) \Leftrightarrow a_i^2+b_i^2+c_i^2+d_i^2=28$$ Ta tìm được $(5,1,1,1),(3,3,3,1)$.
Kết luận. Vậy phương trình $(1)$ có nghiệm nguyên dương $$(a,b,c,d) = \left( 2^n,2^n,2^n,2^{n+1} \right), \left( 2^{n-1} \cdot 5, 2^{n-1},2^{n-1},2^{n-1} \right), \left( 2^{n-1} \cdot 3,2^{n-1} \cdot 3, 2^{n-1} \cdot 3, 2^{n-1} \right) $$ và các hoán vị tương ứng.
Edited by Jinbe, 13-05-2013 - 15:14.
)
