Bài 67. Tìm x,y nguyên : $\left ( y+2 \right )x^{2}+1=y^{2}$
Topic tổng hợp các bài toán về phương trình nghiệm nguyên.
#81
Đã gửi 31-03-2013 - 20:02
- Zaraki, pham anh quan, LNH và 7 người khác yêu thích
Issac Newton
#82
Đã gửi 31-03-2013 - 20:03
Bài 68. Tìm x,y nguyên $y(x-1)=x^{2}+1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 31-03-2013 - 20:03
- Zaraki, pham anh quan, LNH và 7 người khác yêu thích
Issac Newton
#83
Đã gửi 31-03-2013 - 20:07
Bài 69. Tìm tất cả các chữ số b sao cho : $\underset{2n c/s}{\underbrace{1111...11}}-\underset{n c/s}{\underbrace{\overline{bbb.bbb}}}$
là số chính phương
- Zaraki, pham anh quan, LNH và 7 người khác yêu thích
Issac Newton
#84
Đã gửi 31-03-2013 - 20:29
Bài 67. Tìm x,y nguyên : $\left ( y+2 \right )x^{2}+1=y^{2} \qquad (1)$
Lời giải. Phương trình tương đương với $(y+2)x^2=(y-1)(y+1)$.
Ta thấy $y+2|(y-1)(y+1)$ mà $(y+1,y+2)=1$ nên $y+2|y-1$ hay $y+2|3$.
Do đó $y+2 \in \{ \pm 1, \; \pm 3 \} \Rightarrow y \in \{ -1,-3,1,-5 \}$.
Với $y=-1$ thì $(1) \Leftrightarrow 1+x^2=1 \Leftrightarrow x=0$.
Với $y=-3$ thì $(1) \Leftrightarrow 1-x^2=9 \Leftrightarrow x^2=-8$, mâu thuẫn.
Với $y=1$ thì $(1) \Leftrightarrow 3x^2+1=1 \Leftrightarrow x=0$.
Với $y=-5$ thì $(1) \Leftrightarrow 1-3x^2=25 \Leftrightarrow 3x^2=-24$, mâu thuẫn.
Vậy $\boxed{(x,y)=(0;1),(0;-1)}$.
- caybutbixanh, DarkBlood và Trang Luong thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#85
Đã gửi 31-03-2013 - 20:35
Bài 68. Tìm x,y nguyên $y(x-1)=x^{2}+1$
Lời giải. Phương trình tương đương với $(1-x)(x+1-y)=2$.
Nếu $1-x=1,x+1-y=2$ thì $x=0,y=-1$.
Nếu $1-x=2,x+1-y=1$ thì $x=-1,y=-1$.
Nếu $1-x=-1,x+1-y=-2$ thì $x=2,y=5$.
Nếu $1-x=-2,x+1-y=-1$ thì $x=3,y=5$.
Vậy phương trình có nghiệm $\boxed{(x;y)=(0;-1),(-1;-1),(2;5),(3;5)}$.
- N H Tu prince và DarkBlood thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#86
Đã gửi 01-04-2013 - 00:41
Bài 69. Tìm tất cả các chữ số b sao cho : $\underset{2n c/s}{\underbrace{1111...11}}-\underset{n c/s}{\underbrace{\overline{bbb.bbb}}}$
là số chính phương
Không biết đúng không nữa
Xét $n=1,$ ta có:
$11-\overline{b}$ phải là số chính phương.
Thử lần lượt giá trị của $b$ $(0\leq b\leq 9;\ b\in \mathbb{N})$ được $b=2$ và $b=7$ thỏa mãn.
Xét $n=2,$ ta có:
$1111-\overline{bb}$ phải là số chính phương.
Với $b=2,$ ta có: $1111-22=1089=33^2,$ là số chính phương.
Với $b=7,$ ta có: $1111-77=1034,$ không là số chính phương. $($Loại$)$
Bây giờ ta chứng minh với $b=2$ thì $\underset{2n\ c/s}{\underbrace{111...11}}-\underset{n\ c/s}{\underbrace{\overline{bbb...bbb}}}$ luôn là số chính phương.
Đặt $\underset{n\ c/s}{\underbrace{\overline{111...111}}}=k$ $(k\in \mathbb{N}^*)$
Khi đó:
$\bullet $ $10^n=9k+1$
$\bullet $ $\underset{2n\ c/s}{\underbrace{111...11}}=\underset{n\ c/s}{\underbrace{\overline{111...111}}}.10^n+\underset{n\ c/s}{\underbrace{\overline{111...111}}}=k(9k+1)+k=9k^2+2k$
$\bullet $ $\underset{n\ c/s}{\underbrace{\overline{222...222}}}=2k$
Do đó:
$\underset{2n\ c/s}{\underbrace{111...11}}-\underset{n\ c/s}{\underbrace{\overline{222...222}}}=9k^2+2k-2k=9k^2,$ là số chính phương.
Vậy $\boxed{b=2}.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 01-04-2013 - 00:42
- Zaraki, caybutbixanh, Tienanh tx và 1 người khác yêu thích
#87
Đã gửi 04-04-2013 - 20:17
Bài 70. Tìm tất cả các cặp số nguyên $x,y$ thỏa mãn : $9x^{2}+3y=y^{2}+8$
Issac Newton
#88
Đã gửi 04-04-2013 - 20:43
Bài 70. Tìm tất cả các cặp số nguyên $x,y$ thỏa mãn : $9x^{2}+3y=y^{2}+8$
Ta có: $9x^{2}+3y=y^{2}+8\Leftrightarrow y^{2}-3y+8-9x^{2}=0(1)$
Xét phương trình $(1)$ có $\Delta =36x^{2}-23$
Để phương trình có nghiệm nguyên khi $\Delta$ là số chính phương
Đặt $36x^{2}-23=t^{2}\Leftrightarrow (6x-t)(6x+t)=23$
Vì $x,y\in \mathbb{Z}$ nên $(6x-t)(6x+t)$ là tích $2$ số nguyên
Mà $23$ viết thành tích $2$ số nguyên có các trương hợp là $23=1.23=-1.(-23)$
$\bullet$ Nếu $\left\{\begin{matrix} 6x-t=1 & \\ 6x+t=23 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ t=11 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ \begin{bmatrix} y=-4 & \\ y=7 & \end{bmatrix} & \end{matrix}\right.$
$\bullet$ Nếu $\left\{\begin{matrix} 6x-t=-1 & \\ 6x+t=-23 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-2 & \\ t=-11 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-2 & \\ \begin{bmatrix} y=-4 & \\ y=7 & \end{bmatrix} & \end{matrix}\right.$
Vậy phương trình có $4$ nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(2;-4);(2;7);(-2;-4);(-2;7)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duaconcuachua98: 04-04-2013 - 20:45
- Zaraki và Trang Luong thích
#89
Đã gửi 04-04-2013 - 21:43
Bài 71: GPT nghiệm nguyên: $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=y^{2}+1$
Mod. Nhớ ghi số thứ tự
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 05-04-2013 - 17:22
- Zaraki và Trang Luong thích
B.F.H.Stone
#90
Đã gửi 05-04-2013 - 17:16
GPT nghiệm nguyên: $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=y^{2}+1$
Ko khó chỉ kẹp giữa 2 số là đc
ta có :
$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=y^{2}+1\Leftrightarrow x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=y^{2}\Rightarrow 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=4y^{2}$
Với $x=-1$$\Rightarrow x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=1\Rightarrow y=0$
Với $x\neq -1$
ta có : $(2x^{2}+x)^{2} \leq 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )<\left ( 2x^{2}+x+2 \right )^{2}$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} (2x^{2}+x)^{2} = 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )\Rightarrow x=0& & \\ \left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=\left ( 2x^{2}+x+1 \right )^{2}\Rightarrow x=1 & & \end{bmatrix}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 05-04-2013 - 21:01
- pham anh quan, DarkBlood, NguyenKieuLinh và 6 người khác yêu thích
Issac Newton
#91
Đã gửi 05-04-2013 - 20:12
Ko khó chỉ kẹp giữa 2 số là đc
ta có :
$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=y^{2}+1\Leftrightarrow x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=y^{2}\Rightarrow 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=4y^{2}$
mà $(2x^{2}+x)^{2} \leq 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )<\left ( 2x^{2}+x+2 \right )^{2}$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} (2x^{2}+x)^{2} = 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )\Rightarrow x=0& & \\ \left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=\left ( 2x^{2}+x+1 \right )^{2}\Rightarrow x=1 & & \end{bmatrix}$
cứ làm đi rồi bạn sẽ thấy thiếu
B.F.H.Stone
#92
Đã gửi 05-04-2013 - 20:18
cứ làm đi rồi bạn sẽ thấy thiếu
Thiếu ở đâu hả bạn, mong bạn chỉ ra cho mình
- pham anh quan, DarkBlood, 4869msnssk và 5 người khác yêu thích
Issac Newton
#93
Đã gửi 05-04-2013 - 20:21
có lẽ mình nhầm nhưng bạn nên viết cách biến đổi ra để mọi người cùng biết
B.F.H.Stone
#94
Đã gửi 05-04-2013 - 20:28
Bài 72:
Tìm $x,y,z$ nguyên để $xyz=x^{2}-2z+2$
#95
Đã gửi 05-04-2013 - 20:37
Ko khó chỉ kẹp giữa 2 số là đc
ta có :
$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=y^{2}+1\Leftrightarrow x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=y^{2}\Rightarrow 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=4y^{2}$
mà $(2x^{2}+x)^{2} \leq 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )$$<\left ( 2x^{2}+x+2 \right )^{2}$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} (2x^{2}+x)^{2} = 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )\Rightarrow x=0& & \\ \left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=\left ( 2x^{2}+x+1 \right )^{2}\Rightarrow x=1 & & \end{bmatrix}$
Rõ ràng ở đây chưa đc, vì x đâu có dương!
(Khi khai triển ra còn hạng tử 4x)
Vì $x^{2}+x+1>0\Rightarrow 2x^{2}+x+1,2x^{2}+x+2>0$
Đâu có sai
và $2x^{2}\geq x^{2}\geq x\Rightarrow 2x^{2}-x\geq 0$ vì x nguyên chứ có phải số vô tỉ đâu
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Thuan: 05-04-2013 - 20:50
#96
Đã gửi 05-04-2013 - 20:44
Rõ ràng ở đây chưa đc, vì x đâu có dương!
(Khi khai triển ra còn hạng tử 4x)
Vì $x^{2}+x+1>0\Rightarrow 2x^{2}+x+1,2x^{2}+x+2>0$
Đâu có sai
và $2x^{2}\geq x^{2}\geq x\Rightarrow 2x^{2}-x\geq 0$ vì x nguyên chứ có phải số vô tỉ đâu
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 05-04-2013 - 20:46
Issac Newton
#97
Đã gửi 05-04-2013 - 20:46
Rõ ràng ở đây chưa đc, vì x đâu có dương!
(Khi khai triển ra còn hạng tử 4x)
khai triển ra phải còn thừa $x(3x+4)$
B.F.H.Stone
#98
Đã gửi 05-04-2013 - 20:48
Vì $x^{2}+x+1>0\Rightarrow 2x^{2}+x+1,2x^{2}+x+2>0$
Đâu có sai
và $2x^{2}\geq x^{2}\geq x\Rightarrow 2x^{2}-x\geq 0$ vì x nguyên chứ có phải số vô tỉ đâu
đây là $2x+x$ chứ
B.F.H.Stone
#99
Đã gửi 05-04-2013 - 20:53
khai triển ra phải còn thừa $x(3x+4)$
Ta có : $x(3x+4)=0$ đúng ko
mà $3x+4$ khác 0 $\Rightarrow x=0\neq 0$
Mà sai chỗ nào bạn hãy chỉ rõ ra, và sửa chữa. Nếu cách mình sai mong các bạn có lời giải khác
P/s: Nói nhiu với các bạn mình sẽ spam mất
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 05-04-2013 - 21:02
- pham anh quan, DarkBlood, 4869msnssk và 5 người khác yêu thích
Issac Newton
#100
Đã gửi 06-04-2013 - 10:45
Bài 73: Giải hệ phương trình nghiệm nguyên:
$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2=194\\ x^2z^2+y^2z^2=4225 \end{matrix}\right.$
- Zaraki, duaconcuachua98 và Near Ryuzaki thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh