Chủ đề này có 1 trả lời

[dactai10a1]

Với mỗi số nguyên dương n, ký hiệu S(n) là tổng tất cả các chữ số trong biểu diễn thập phân của n.
Xét các số nguyên dương m là bội của 2003. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của S(m).

[Secrets In Inequalities VP]

Với mỗi số nguyên dương n, ký hiệu S(n) là tổng tất cả các chữ số trong biểu diễn thập phân của n.
Xét các số nguyên dương m là bội của 2003. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của S(m).

Đặt $p=2003\in\mathbb{P}$.
+ Nếu $S(n)= 1\Rightarrow n= 100...000= 10^{^{k}}\not\vdots 2003\Rightarrow S(n)> 1$
+ Nếu $S(n)= 2$$\Rightarrow n= 200...000$ hoặc $n=100...100...00= 10^{i}+10^{j}$
Ta có $n=200...000= 2.10^{k} \not\vdots 2003$ $\Rightarrow n=10^i+10^j$
$\Rightarrow 10^i+10^j\vdots 2003=p\Rightarrow 10^i= -10^j(Modp)$
$\Rightarrow 10^{i-j}= -1(Modp)$$\Rightarrow 10^k= -1(Modp)$ ( $k=i-j$ )
Dễ thấy $2^{10}= 1024\equiv 10^7(Modp)$ , suy ra :
$(2^{5k})^{2}= 2^{10k}\equiv (10^{k})^{7}\equiv -1(Modp)$
$\Rightarrow -1$ là số chính phương mod p suy ra $p$ có dạng $4k+1$
$\Rightarrow 2003=p= 4k+1\Rightarrow k= \frac{2002}{4} \not \in \mathbb{Z}$
Suy ra vô lí $\Rightarrow S(n)> 2$
+ Bây giờ ta chứng minh là có $n$ để $S(n)= 3$
Vì $p=2003\neq 8k-1\neq 8k+1$ suy ra $2$ không là SCP mod p $\Rightarrow 2^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(Modp))$
Mà $10^{7}\equiv 2^{10}(Modp)\Rightarrow 2.10^{700}\equiv 2^{1001}= 2^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1 (Modp)$
$\Rightarrow (2.10^{700}+1)\vdots p$ .Mà $S(2.10^{700}+1)= 3$ nên khẳng định của ta là đúng.
Vậy $minS(n)= 3$.Xảy ra khi chẳng hạn $n= 2.10^{700}+1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 29-12-2012 - 13:56