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[Sagittarius912]

Cho tam giác ABC thỏa:
$4p(p-a)\leq bc$ và $\sin\frac{A}{2}.\sin\frac{B}{2}.\sin\frac{C}{2}=\frac{2\sqrt{3}-3}{8}$
Tính các góc A,B,C

[namseohihi]

$4p(p-a)\leq bc\Leftrightarrow a^{2}\geq b^{2}+c^{2}+bc\Leftrightarrow cosA\leq \frac{-1}{2}\Leftrightarrow A\epsilon [\frac{2\pi }{3};\pi ]$
$\Leftrightarrow \frac{\pi }{3}\leq \frac{A}{2}\leq \frac{\pi }{2}$
ta có:
$sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=\frac{1}{2}sin\frac{A}{2}(cos\frac{B-C}{2}-cos\frac{B+C}{2})\leq \frac{1}{2}sin\frac{A}{2}(1-sin\frac{A}{2})=\frac{1}{2}[-(sin\frac{A}{2}-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}]$
Mặt khác:
$sin\frac{A}{2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow sin\frac{A}{2}-\frac{1}{2}\geq \frac{\sqrt{3}-1}{2}\Rightarrow (sin\frac{A}{2}-\frac{1}{2})^{2}\geq \frac{4-2\sqrt{3}}{4}$
$\Rightarrow sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\leq \frac{1}{2}[-(sin\frac{A}{2}-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}]\leq \frac{2\sqrt{3}-3}{8}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow A=\frac{2\pi }{3}; B=C=\frac{\pi }{6}$