Cho $a,b,c> 0$ và $a+b+c= 3$ Chứng minh rằng:
$\frac{a}{7a^{2}+11}+\frac{b}{7b^{2}+11}+\frac{c}{7c^{2}+11}\leq \frac{1}{6}$
$\frac{a}{7a^{2}+11}+\frac{b}{7b^{2}+11}+\frac{c}{7c^{2}+11}\leq \frac{1}{6}$
Bắt đầu bởi mrjackass, 30-12-2012 - 13:10
#2
Đã gửi 30-12-2012 - 18:31
maitienluat
-
- Thành viên
-
- 182 Bài viết
Trung sĩ
Ta c/minh BĐT phụ sau $\frac{162a}{7a^{2}+11}\leq 2a+7\Leftrightarrow \frac{(a-1)^{2}(2a+11)}{7a^{2}+11}\geq 0$ (đúng)
Từ đó ta có $162\sum \frac{a}{7a^{2}+11}\leq 2\sum a+21= 27\Rightarrow \sum \frac{a}{7a^{2}+11}\leq \frac{1}{6}$.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
Từ đó ta có $162\sum \frac{a}{7a^{2}+11}\leq 2\sum a+21= 27\Rightarrow \sum \frac{a}{7a^{2}+11}\leq \frac{1}{6}$.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
- IloveMaths yêu thích
#3
Đã gửi 30-12-2012 - 19:21
maitienluat
-
- Thành viên
-
- 182 Bài viết
Trung sĩ
Một cách khác sử dụng AM-GM
Ta có $7a^{2}+11\geq 18a^{\frac{7}{9}}\Rightarrow \frac{a}{7a^{2}+11}\leq \frac{1}{18}a^{\frac{2}{9}}$
và $2a+7\geq 9a^{\frac{2}{9}}\Rightarrow \frac{1}{18}a^{\frac{2}{9}}\leq \frac{2a+7}{162}$
Vậy $\sum \frac{a}{7a^{2}+11}\leq \sum \frac{2a+7}{162}= \frac{1}{6}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
Ta có $7a^{2}+11\geq 18a^{\frac{7}{9}}\Rightarrow \frac{a}{7a^{2}+11}\leq \frac{1}{18}a^{\frac{2}{9}}$
và $2a+7\geq 9a^{\frac{2}{9}}\Rightarrow \frac{1}{18}a^{\frac{2}{9}}\leq \frac{2a+7}{162}$
Vậy $\sum \frac{a}{7a^{2}+11}\leq \sum \frac{2a+7}{162}= \frac{1}{6}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
