Chủ đề này có 8 trả lời

[thinh990197]

Cho a>b>0, tìm giá trị nhỏ nhất $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$ biết a + b = 1.

[duong vi tuan]

dùng cô si:
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{2}{ab}\geq \frac{8}{(a+b)^2}=8$$

[lamquangduc881998]

các bạn ơi giúp mình bai này với
tìm nghiệm nguyên của pt
X³ - Y³ =91

[banhgaongonngon]

các bạn ơi giúp mình bai này với
tìm nghiệm nguyên của pt
X³ - Y³ =91

$x^{3}-y^{3}=91\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=91$
Do $x^{2}+xy+y^{2}=\frac{1}{2}(x+y)^{2}+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}y^{2}\geq 0$ nên ta chỉ xét các trường hợp dưới đây

* TH1 : $\left\{\begin{matrix} x-y=1\\x^{2}+xy+y^{2} =91 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+1\\ (y+1)^{2}+y(y+1)+y^{2}=91 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+1\\ y^{2}+y-30=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=6\\ y=5 \end{matrix}\right.,\left\{\begin{matrix} x=-5\\ y=-6 \end{matrix}\right.$

* TH2 : $\left\{\begin{matrix} x-y=91\\ x^{2}+xy+y^{2}=1 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+91\\ y^{2}+91y+2760=0 \end{matrix}\right.$ (vô nghiệm)

* TH3 : $\left\{\begin{matrix} x-y=7\\ x^{2}+xy+y^{2}=13 \end{matrix}\right.$

* TH4 : $\left\{\begin{matrix} x-y=13\\ x^{2}+xy+y^{2}=7 \end{matrix}\right.$

[banhgaongonngon]

Cho a>b>0, tìm giá trị nhỏ nhất $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$ biết a + b = 1.

$2\left (\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}} \right )\geq\left ( \frac{1}{a} +\frac{1}{b}\right ) ^{2}\geq \frac{16}{(a+b)^{2}}$

[Tienanh tx]

Cách $3$ cho bài 1 nhé
$\oplus$ Ta có BĐT phụ: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \ge \frac{2^2}{x+y}$ và $x^2 +b^2 \ge 2ab$
Áp dụng vào bài toán ta được

$BĐT$ $\Longleftrightarrow$ $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} \ge \frac{4}{a^2+b^2} \ge \frac{4}{2ab}= \frac{2}{ab}$
$\oplus$ : Lại áp dụng hệ quả của $AM-GM$, ta có: $\frac{1}{ab} \ge \frac{4}{a+b}=4$ $\Longleftrightarrow$ $\frac{2}{ab} \ge \frac{4.2}{a+b}=8$

$Q.E.D$

[Oral1020]

Cách $3$ cho bài 1 nhé
$\oplus$ Ta có BĐT phụ: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \ge \frac{2^2}{x+y}$ và $x^2 +b^2 \ge 2ab$
Áp dụng vào bài toán ta được

$BĐT$ $\Longleftrightarrow$ $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} \ge \frac{4}{a^2+b^2} \ge \frac{4}{2ab}= \frac{2}{ab}$
$\oplus$ : Lại áp dụng hệ quả của $AM-GM$, ta có: $\frac{1}{ab} \ge \frac{4}{a+b}$$=4 \Longleftrightarrow$ $\frac{2}{ab} \ge \frac{4.2}{a+b}=8$

$Q.E.D$

Mình thấy không khác gì của anh $\text{duong vi tuan}$ đâu.Chỉ có điều bạn là rõ ra thôi
Với lại chỗ màu đỏ thì chỉ cần $\text{AM-GM}$ thôi.
Dòng màu xanh thì bạn có bị lộn không vậy ???!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 01-01-2013 - 19:54

[triethuynhmath]

Cách $3$ cho bài 1 nhé
$\oplus$ Ta có BĐT phụ: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \ge \frac{2^2}{x+y}$ và $x^2 +b^2 \ge 2ab$
Áp dụng vào bài toán ta được

$BĐT$ $\Longleftrightarrow$ $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} \ge \frac{4}{a^2+b^2} \ge \frac{4}{2ab}= \frac{2}{ab}$
$\oplus$ : Lại áp dụng hệ quả của $AM-GM$, ta có: $\frac{1}{ab} \ge \frac{4}{a+b}=4$ $\Longleftrightarrow$ $\frac{2}{ab} \ge \frac{4.2}{a+b}=8$

$Q.E.D$

Bài bạn sai ở chỗ $\frac{4}{a^2+b^2}\geq \frac{4}{2ab}$ Ngược dấu rồi bạn à

[triethuynhmath]

Cho a>b>0, tìm giá trị nhỏ nhất $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$ biết a + b = 1.

Cách khác nè bạn.
Đặt $ab=x\Rightarrow 0< x\leq \frac{1}{4}$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1-2x}{x^2}=8+\frac{(1-4x)(2x+1)}{x^2}\geq 8(0< x\leq \frac{1}{4})$ Dấu "=" khi $a=b=\frac{1}{2}$