Chủ đề này có 4 trả lời

[Sagittarius912]

Cho các số thưc x,y và $xy>0$. CMR
$\frac{2xy}{x+y}+\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}\geq \sqrt{xy}+\frac{x+y}{2}$

[IloveMaths]

biên đổi tương đương thôi mà

$\frac{2xy}{x+y}+\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\geqslant \sqrt{xy}+\frac{x+y}{2} \Leftrightarrow \frac{2xy}{x+y}+\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}-\sqrt{xy}-\frac{x+y}{2}\geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{4xy-(x+y)^2}{2(x+y)}+\frac{(\frac{x^2+y^2}{2}-xy)}{\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy}}\geqslant 0\Leftrightarrow \frac{-(x-y)^2}{2(x+y)}+\frac{(x-y)^2}{2.(\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}+\sqrt{xy}})}\geqslant 0\Leftrightarrow \frac{-(x-y)^2}{(x+y)}+\frac{(x-y)^2}{(\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}+\sqrt{xy}})}\geqslant 0\Leftrightarrow (x-y)^2.(\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}+\sqrt{xy}}}-\frac{1}{(x+y)})$

$\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}+\sqrt{xy}}}-\frac{1}{(x+y)}\geqslant 0 \Leftrightarrow x+y-\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}-\sqrt{xy}\geqslant 0 \Leftrightarrow x^2+y^2+2xy\geqslant \frac{x^2+y^2}{2}+xy+\sqrt{2(x^2+y^2)xy}\geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{x^2+y^2}{2}+xy\geqslant \sqrt{2(x^2+y^2)xy}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Dang Do: 02-01-2013 - 13:49

[Dung Dang Do]

Cho các số thưc x,y và $xy>0$. CMR
$\frac{2xy}{x+y}+\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}\geq \sqrt{xy}+\frac{x+y}{2}$

biên đổi tương đương thôi mà

$\frac{2xy}{x+y}+\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\geqslant \sqrt{xy}+\frac{x+y}{2} \Leftrightarrow \frac{2xy}{x+y}+\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}-\sqrt{xy}-\frac{x+y}{2}\geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{4xy-(x+y)^2}{2(x+y)}+\frac{(\frac{x^2+y^2}{2}-xy)}{\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy}}\geqslant 0\Leftrightarrow \frac{-(x-y)^2}{2(x+y)}+\frac{(x-y)^2}{2.(\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}+\sqrt{xy}})}\geqslant 0\Leftrightarrow \frac{-(x-y)^2}{(x+y)}+\frac{(x-y)^2}{(\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}+\sqrt{xy}})}\geqslant 0\Leftrightarrow (x-y)^2.(\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}+\sqrt{xy}}}-\frac{1}{(x+y)})$

$\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}+\sqrt{xy}}}-\frac{1}{(x+y)}\geqslant 0 \Leftrightarrow x+y-\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}-\sqrt{xy}\geqslant 0 \Leftrightarrow x^2+y^2+2xy\geqslant \frac{x^2+y^2}{2}+xy+\sqrt{2(x^2+y^2)xy}\geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{x^2+y^2}{2}+xy\geqslant \sqrt{2(x^2+y^2)xy}$

Bài toán rất thú vị vì dấu bằng ngoài dấu bằng $a=b$ thì chúng còn là hoán vị của 1 cặp $(99;100)$

[Sagittarius912]

Bài toán rất thú vị vì dấu bằng ngoài dấu bằng $a=b$ thì chúng còn là hoán vị của 1 cặp $(99;100)$

thế ư??? sao t thử vào nó đâu có đúng?
_________
Tử thử 5 lần rồi ko sai đâu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Dang Do: 02-01-2013 - 21:15

[KietLW9]

Cho các số thưc x,y và $xy>0$. CMR
$\frac{2xy}{x+y}+\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}\geq \sqrt{xy}+\frac{x+y}{2}$

$VT-VP=\frac{2(x-y)^6}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2(x+y+\sqrt{2(x^2+y^2)})(x+y)(\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy})}\geqslant 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 30-04-2021 - 16:03