Chủ đề này có 2 trả lời

[VNSTaipro]

Cho $a, b, c$ là các số thực dương với $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{\sqrt[3]{x^{7}+7}}+\frac{1}{\sqrt[3]{y^{7}+7}}+\frac{1}{\sqrt[3]{z^{7}+7}}\leq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VNSTaipro: 03-01-2013 - 20:34

[Joker9999]

Cho $a, b, c$ là các số thực dương với $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{\sqrt[3]{x^{7}+7}}+\frac{1}{\sqrt[3]{y^{7}+7}}+\frac{1}{\sqrt[3]{z^{7}+7}}\leq \frac{3}{2}$

Lời giải:
Định lý: Cho các số không âm $a,b,c$ không có $2$ số nào bằng $0$. cố định $a+b+c=p,abc=r$. Mọi hàm $f$ khả vi trên $[0,+\infty)$ thoả $k(x)=f'(\frac{1}{x})$ là hàm lồi thì

$P(a,b,c)=f(a)+f(b)+f(c)$

đạt giá trị lớn nhất (nếu có) khi có $2$ biến bằng nhau
________________________________________
Trở lại bài toán:
Cố định $abc$, như vậy ta có: $abc=\const$,$a+b+c=\const$. Áp dụng định lý thì ta chỉ cần CM khi $c=b$, dễ có $b\leq \frac{1}{2}$: do $k'(x)=f''(\sqrt[3]{x^7+7})=\frac{1}{3}.(x^7+7)^{\frac{-2}{3}}.>0$

$f(x)=\frac{2}{\sqrt[3]{x^7+7}}+\frac{1}{\sqrt[3]{(3-2x)^7+7}}\leq \frac{3}{2}$

Đây chỉ là hàm $1$ biến và xét đạo hàm hay khảo sát hàm số này là xong.

[nthoangcute]

Cho $x, y, z$ là các số thực dương với $x+y+z=3$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{\sqrt[3]{x^{7}+7}}+\frac{1}{\sqrt[3]{y^{7}+7}}+\frac{1}{\sqrt[3]{z^{7}+7}}\leq \frac{3}{2}$

Chém liều:
Đặt $P(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{7}+7}}+\frac{1}{\sqrt[3]{y^{7}+7}}+\frac{1}{\sqrt[3]{z^{7}+7}}\leq \frac{3}{2}$
Trước hết ta thấy:
TH1: Nếu có 1 trong 3 số $x,y,z \in \left( 0, \sqrt[7]{\frac{63}{5}}\right)$
Giả sử chỉ có $x\in \left( 0, \sqrt[7]{\frac{63}{5}}\right)$. Khi đó ta thấy $y,z \in \left( \sqrt[7]{\frac{63}{5}},3\right)$
Vì hàm số $f(t)=\frac{1}{\sqrt[3]{t^7+7}}$ có $f'(t)=-\frac{7}{3} \frac{t^6}{\sqrt[3]{(t^7+7)^4}}<0$ nên $f(t)$ nghịch biến
Suy ra $$P < P\left(0,\sqrt[7]{\frac{63}{5}},\sqrt[7]{\frac{63}{5}}\right)=\frac{7^{2/3}}{7}+\frac{98^{2/3}5^{1/3}}{49}=1,264542... <\frac{3}{2}$$
TH2: Nếu có 2 trong 3 số $x,y,z \in \left( 0, \sqrt[7]{\frac{63}{5}}\right)$
Giả sử chỉ có $x,y \in \left( 0, \sqrt[7]{\frac{63}{5}}\right)$Tương tự TH1 ta được:
$$P<P\left(0,0,\sqrt[7]{\frac{63}{5}}\right)=1,4164083....<\frac{3}{2}$$

TH3: Cả 3 số $x,y,z \in \left( 0, \sqrt[7]{\frac{63}{5}}\right)$
Do $x+y+z=3$ nên tồn tại một số trong 3 số thỏa mãn $>3-\sqrt[7]{\frac{63}{5}}$
Khi đó không mất tính tổng quát, ta được $$P<P\left(0,0,3-\sqrt[7]{\frac{63}{5}} \right)=1,3677881...<\frac{3}{2}$$
TH4: Cả 3 số đều thuộc khoảng $\left [\sqrt[7]{\frac{63}{5}},3 \right)$
Xét hàm $$f(k)=\frac{1}{\sqrt[3]{k^7+7}}$$ với $k \in \left [\sqrt[7]{\frac{63}{5}},3 \right)$
$$f''(k)=-\frac{14}{9} \frac{x^5(5x^7-63)}{(x^7+7)^{7/3}} \leq 0$$
Do đó theo $Jen-sen$ ta được:
$$P \leq \frac{1}{\sqrt[3]{(x+y+z)^7+7}}=\frac{3}{2}$$
_________________
Joker9999 làm sai chỗ này:

$$k'(x)=f''(\sqrt[3]{x^7+7})=\frac{1}{3}.(x^7+7)^{\frac{-2}{3}}.>0$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 25-02-2013 - 11:42