Chủ đề này có 2 trả lời

[tieuthumeo99]

Cho a,b $>$ 0 thỏa mãn a+b=4
Tìm Min P=$\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{a^3+1}}$

[maitienluat]

AM-GM:$\frac{a}{\sqrt{b^{3}+1}}= \frac{a}{\sqrt{(b+1)(b^{2}-b+1)}}\geq \frac{2a}{b^{2}+2}$
và $\frac{2a}{b^{2}+2}= a-\frac{ab^{2}}{\frac{b^{2}}{2}+\frac{b^{2}}{2}+2}\geq a-\frac{\sqrt[3]{2}ab^{2}}{3b^{\frac{4}{3}}}=a-\frac{\sqrt[3]{2}}{3}ab^{\frac{2}{3}}$
$\sqrt[3]{2}ab^{\frac{2}{3}}\leq \frac{1}{3}(2a+ab+ab)$
Suy ra $\frac{a}{\sqrt{b^{3}+1}}\geq a-\frac{1}{9}(2a+2ab)$
Tương tự $\frac{b}{\sqrt{a^{3}+1}}\geq b-\frac{1}{9}(2b+2ab)$
Mà $ab\leq 4$ nên $P\geq \frac{4}{3}$. ĐTXR khi $a=b=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 04-01-2013 - 16:49

[thukilop]

$\sum \frac{a}{\sqrt{b^{3}+1}}\geq \sum \frac{2a}{b^{2}+2}$
Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{2a}{b^{2}+2}=\sum \frac{2a^{2}}{ab^{2}+2a}\geq 2\frac{(a+b)^{2}}{ab^{2}+a^{2}b+2(a+b)}=2\frac{(a+b)^{2}}{(a+b)(ab+2)}\geq \frac{4}{3}$
KL: min P= $\frac{4}{3}$ <=> a=b=2