Chủ đề này có 3 trả lời

[25 minutes]

Cho $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ là các số dương thỏa mãn $a + b + c = 3$.
Chứng minh rằng : $\frac{a + 2}{b + 2} + \frac{b + 2}{c + 2} + \frac{c + 2}{a + 2} \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 08-01-2013 - 17:04

[maitienluat]

Không mất tổng quát giả sử c là số lớn nhất.
BĐT đã cho tương đương với: $\frac{a+2}{b+2}+\frac{b+2}{c+2}+\frac{c+2}{a+2}-3\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}-\frac{(a+b+c)^{2}}{3}$
Ta có các đẳng thức sau:
$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-3=\frac{1}{xy}(x-y)^{2}+\frac{1}{xz}(z-x)(z-y)$
$x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx=(x-y)^{2}+(z-x)(z-y)$
Từ đó $VP-VT=(a-b)^{2}\left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{(a+2)(b+2)} \right )+(c-a)(c-b)\left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{(a+2)(c+2)} \right )\geq 0$
Dễ thấy BĐT này đúng, ta có đpcm. ĐTXR khi $a=b=c=1$

[Mushz]

Không mất tổng quát giả sử c là số lớn nhất.
BĐT đã cho tương đương với: $\frac{a+2}{b+2}+\frac{b+2}{c+2}+\frac{c+2}{a+2}-3\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}-\frac{(a+b+c)^{2}}{3}$
Ta có các đẳng thức sau:
$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-3=\frac{1}{xy}(x-y)^{2}+\frac{1}{xz}(z-x)(z-y)$
$x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx=(x-y)^{2}+(z-x)(z-y)$
Từ đó $VP-VT=(a-b)^{2}\left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{(a+2)(b+2)} \right )+(c-a)(c-b)\left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{(a+2)(c+2)} \right )\geq 0$
Dễ thấy BĐT này đúng, ta có đpcm. ĐTXR khi $a=b=c=1$

Dựa trên cách giải này, em có bài này: Với a,b,c>0. CMR:
$\sum \frac{a}{b}\geq \sum \frac{a+c}{b+c}$ (tổng cyc hết nha - tiện thể ai chỉ cách viết tổng cyc luôn đi)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mushz: 07-01-2013 - 20:13

[25 minutes]

Dựa trên cách giải này, em có bài này: Với a,b,c>0. CMR:
$\sum \frac{a}{b}\geq \sum \frac{a+c}{b+c}$ (tổng cyc hết nha - tiện thể ai chỉ cách viết tổng cyc luôn đi)

Và mình có bài tổng quát này
Cho $a,b,c$ dương
Chứng minh : $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+kb}{a+kc}+\frac{b+kc}{b+ka}+\frac{c+ka}{c+kb}$ ?